Limite - usando apenas limites notáveis

por **emsbp** » Seg Jul 23, 2012 16:45

Boa tarde.
É pedido para calcular $\lim_{x\rightarrow1}\frac{1-{x}^{2}}{sen(\pi x)}$ .
Já tentei e chego sempre a uma indeterminação. Sei que o resultado é $\frac{2}{\pi}$ . Confirmei pelo Wolfram, mas resolvem utilizando regra de l´hopital e interessa-me usar apenas limites notáveis com ou sem substituição.
Tentei utilizar o limite notável $\lim_{x\rightarrow0}\frac{sen x}{x}=1$ ,mas não estou a conseguir chegar ao resultado.
Peço ajuda. Obrigado!

por **LuizAquino** » Seg Jul 23, 2012 17:31

emsbp escreveu:Boa tarde.
É pedido para calcular $\lim_{x\rightarrow1}\frac{1-{x}^{2}}{sen(\pi x)}$ .
Já tentei e chego sempre a uma indeterminação. Sei que o resultado é $\frac{2}{\pi}$ . Confirmei pelo Wolfram, mas resolvem utilizando regra de l´hopital e interessa-me usar apenas limites notáveis com ou sem substituição.
Tentei utilizar o limite notável $\lim_{x\rightarrow0}\frac{sen x}{x}=1$ ,mas não estou a conseguir chegar ao resultado.
Peço ajuda. Obrigado!

Note que:

$\lim_{x\to 1}\frac{1- x^2}{\textrm{sen}\, \pi x} = \lim_{x\to 1}\frac{(1 - x)(1 + x)}{\textrm{sen}\, \pi x}$

Fazendo a substituição u = 1 - x, temos que:

$= \lim_{u\to 0}\frac{u(2 - u)}{\textrm{sen}\,\left(\pi - \pi u\right)}$

$= \lim_{u\to 0}\frac{u(2 - u)}{\textrm{sen}\,\pi\cos\pi u - \textrm{sen}\,\pi u\cos \pi}$

$= \lim_{u\to 0}\frac{u(2 - u)}{\textrm{sen}\,\pi u }$

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