Vetor

por **CarolMarques** » Seg Jul 23, 2012 18:48

Decomponha u =(1,0,3) como soma dos vetores v e w tais que v, (1,1,1) e (-1,1,2) sejam LD e w seja ortogonal aos dois últimos.Não sei como fazer essa questão por favor me ajudem.Obrigada

por **LuizAquino** » Seg Jul 23, 2012 19:54

CarolMarques escreveu:Decomponha u =(1,0,3) como soma dos vetores v e w tais que v, (1,1,1) e (-1,1,2) sejam LD e w seja ortogonal aos dois últimos.

CarolMarques escreveu:Não sei como fazer essa questão por favor me ajudem.

Primeiro você precisa perceber que esse exercício possui infinitas soluções.

Para que u possa ser decomposto como soma dos vetores v e w, devemos ter {u, v, w} L.D..

Além disso, para que $\{\vec{v},\, (1,\, 1,\, 1),\, (-1,\, 1,\, 2)\}$ seja L.D., basta que existam escalares a e b tais que:

$\vec{v} = a(1,\,1,\,1)+b(-1,\,1,\,2)= (a - b,\,a + b,\,a + 2b)$

Note que para cada escolha de a e b teremos um vetor diferente. Isso significa que para cada escolha de a e b teremos uma resposta diferente para o exercício.

Por outro lado, como o vetor $\vec{w}$ deve ser ortogonal a (1, 1, 1) e (-1, 1, 2), uma possibilidade é tomar $\vec{w} = (1,\, 1,\, 1) \times (-1,\, 1,\, 2)$ . Calculando esse produto vetorial, obtemos que $\vec{w} = (1,\, -3,\, 2)$ .

Lembrando então que {u, v, w} deve ser L.D., temos que deve ocorrer:

$\begin{vmatrix}1 & 0& 3 \\ a - b & a + b & a + 2b \\ 1 & - 3 & 2\end{vmatrix} = 0 \iff -7a + 14b = 0 \iff a = 2b$

Ou seja, os escalares a e b precisam ser escolhidos de tal modo a respeitar a relação a = 2b. Nesse sentido, escolhendo b = 1 e a = 2, temos que $\vec{v} = (1,\,3,\,4)$ .

Agora para finalizar o exercício basta encontrar os escalares k e m tais que $\vec{u} = k\vec{v} + m\vec{w}$ . Em outras palavras, basta resolver a equação:

$(1,\,0,\,3)= k(1,\,3,\,4) + m(1\,-3,\,2)$

Tente continuar a partir daí.

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