Dúvida - cálculo de ângulos

por **Danilo** » Seg Jul 16, 2012 17:23

Estou empacado em um exercício que eu acredito ser muito simples, mas as respostas simplesmente não batem.

Sabendo que senx = 1/2 e 0 ? x? ?/2, calcule:

a) cosx
b) cos (x + ?/2)

Bom, se senx é 1/2 e x está no primeiro quadrante, então x só pode ser 30º (penso eu.). Logo cosx = (raiz quadrada de 3)/2

e a alternativa b) cos (x + ?/2) = cosx + cos ?/2 => cos (x + ?/2) = $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ , pois cos ?/2 é zero. Apenas apliquei a distributiva e resolvi. Também cheguei a pensar
cos x = sen (90-x), mas não tive sucesso.

O problema é que as respostas que constam no livro são diferentes. para cos (x + ?/2) a resposta é -1/2 e não $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ . E isso acontece com as outras alternativas, com excessão da letra a) . Onde estou errado? (ou é o livro?) Grato !

por **Danilo** » Seg Jul 16, 2012 17:29

Viajei legal. É só fazer a redução para o primeiro quadrante e resolver. Vou dar uma relida no livro para que isso não aconteça de novo :p

por **MarceloFantini** » Seg Jul 16, 2012 17:56

A resposta para o primeiro item está correta, agora no segundo não há o que reduzir ao primeiro quadrante.

Note que se $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ , então teremos $\frac{\pi}{2} \leq x + \frac{\pi}{2} \leq \pi$ .

Temos que 30° é $\pi/6$ radianos, daí

$\cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} \right) = \cos \left( \frac{2 \pi}{3} \right) = - \frac{1}{2}$ .

por **Danilo** » Seg Jul 16, 2012 19:05

MarceloFantini escreveu:A resposta para o primeiro item está correta, agora no segundo não há o que reduzir ao primeiro quadrante.

Note que se $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ , então teremos $\frac{\pi}{2} \leq x + \frac{\pi}{2} \leq \pi$ .

Temos que 30° é $\pi/6$ radianos, daí

$\cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} \right) = \cos \left( \frac{2 \pi}{3} \right) = - \frac{1}{2}$ .

Marcelo, por que a resposta é diferente se eu aplicar a distributiva, por exemplo em cos (x +?/2) se eu fizer a distributiva eu obtenho $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ .

por **MarceloFantini** » Seg Jul 16, 2012 20:46

Porque não existe distributiva. Cosseno é uma função, e não é uma função linear.

por **Arkanus Darondra** » Seg Jul 16, 2012 20:59

Danilo.
Observe que:
cos(30º + 60º) $\neq$ cos30º + cos 60º
pois $0 \neq \frac{\sqrt3}{2} + \frac12$

Existem fórmulas para calcular soma e subtração de arcos. Por exemplo, veja o link:
Adição e Subtração de Arcos