Sequência - Treinamento OSCM

por **anfran1** » Qua Jul 11, 2012 13:01

O exercício é o seguinte:
Considere a sequência ${Q}_{n}$ dada por ${Q}_{0}=123$ , ${Q}_{1}=456$ e ${Q}_{n}=\frac{1+{Q}_{n-1}}{{Q}_{n-2}}$ , para $n\geq2$ . Calcule ${Q}_{2012}$ .

Eu tentei resolver o exercício mas consegui calcular apenas ${Q}_{2}$ . Se eu continuasse a resolver dessa forma, subsituindo os valores, previ que demoraria uns 3 meses e meio para chegar no ${Q}_{2012}$ . É possível simplificar essas sequência, de forma a encontrar os valores mais rapidamente?
Tentei substituir o ${Q}_{n-2}$ na fórmula em função de ${Q}_{n}$ mas só cheguei em ${Q}_{n}={Q}_{n}$ .
Depois de certo tempo fui mais além(e percebi que estava ainda mais errado) quando supus que ${Q}_{n-2}={Q}_{{Q}_{n-1}}$ .
Se alguém tiver alguma solução por favor me ajude.

por **fraol** » Qui Jul 12, 2012 22:19

Boa noite,

Essas questões de olimpíadas são interessantes e, muitas vezes, trabalhosas. Admiro essa moçada que participa desses certames.

Quanto à questão proposta, como você já gastou algum tempo trabalhando nela, você poderia trabalhar mais um pouco e calcular até Q_6

por exemplo. Então veja o que você tem em mãos, assim poderá obter a resposta.

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por **anfran1** » Sex Jul 13, 2012 10:28

Espero que os valores formem uma progressão ou apresentem algum padrão. Bem que eles poderiam ter colocado por exemplo ${Q}_{0}=1$ e ${Q}_{1}=3$ . Desde já agradeço.

por **fraol** » Sex Jul 13, 2012 10:38

Bom dia,

Usando esse método meio força bruta, afinal treino é treino, se você calcular até o Q_6

, poderia até ir mais além, mas n=6 já é suficiente, você vai notar o padrão.

Depois, se possível, poste aqui o resultado. Bom trabalho.

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por **anfran1** » Sex Jul 13, 2012 11:09

Será que se eu usar outros valores para ${Q}_{0}$ e ${Q}_{1}$ , o padrão se repetiria, por exemplo:

Faz de conta que o valor correto de ${Q}_{2012}=\frac{123.124.125.126.127...x}{124.125.126.127....x}$

Se eu mudasse os valores iniciais será que acharia ${Q}_{2012}=\frac{3.4.5.6.7.8.9.10.11...x}{4.5.6.7...x}$ ?

Isso é só um exemplo, eu não sei o padrão nem os valores corretos ainda.

Espero que você entenda minha pergunta. A dúvida é se o padrão se repetiria.