Plano

por **Claudin** » Sex Jul 06, 2012 12:32

Determine a equação do plano que contém o ponto P(1,1,1) e é perpendicular ao vetor (2,-1,8)

Temos o ponto e temos o vetor diretor, portanto a equação seria:

2x-y+8z = ?

O que eu não sei encontrar é a constante após o sinal de igualdade

por **Russman** » Sex Jul 06, 2012 16:00

Seja um palno que contenha um ponto $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ de vetor normal $\overrightarrow{N} = <n_{x},n_{y},n_{z}>$ .

Agora tome o ponto P=(x,y,z)

que tambem pertence ao plano. Assim, o vetor $\overrightarrow{PP_{0}}=<x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}>$ deve ser paralelo ao plano e, portanto, perpendicular a $\overrightarrow{N}$ .

Logo,

$\overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{PP_{0}}=0\Rightarrow <n_{x},n_{y},n_{z}> \cdot <x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}>=0$ ,

e disto,

$\Rightarrow n_{x}(x- x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0$ .

Se o plano é dado por ax+by+cz+d=0

, então

$\left\{\begin{matrix} a=n_{x}\\ b=n_{y}\\ c=n_{z}\\ d=-n_{x}x_{0}-n_{y}y_{0}-n_{z}z_{0}\\ \end{matrix}\right.$

por **Claudin** » Sex Jul 06, 2012 16:23

obrigado

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