Inequação Quociente (Módulo)

por **Rafael16** » Sex Jul 06, 2012 12:43

Olá pessoal, não consegui resolver essa inequação $\left|\frac{x - 2}{x + 2} \right| \geq 1$

Minha resolução foi a seguinte:

$\left|\frac{x - 2}{x + 2} \right| \geq 1$

Para(I)

$\frac{x - 2}{x + 2} \geq 1$

$\frac{-4}{x + 2}\geq 0$ $\rightarrow$ cheguei nesse resultado

Colocando na reta real achei x < -2

Para(II)

$\frac{x - 2}{x + 2} \leq -1$

$\frac{2x}{x + 2} \leq 0$ $\rightarrow$ cheguei nesse resultado

Colocando na reta real achei $-2 < x\leq 0$

Fazendo a intersecção (I ? II) achei como solução S= $\phi$

Resposta certa: {x ? ?|x?0 e x ? -2}

por **Russman** » Sex Jul 06, 2012 17:24

Ok, pense assim:

Faça $\frac{x-2}{x+2}=y$ .

Se $\left | y \right |\geq 1$ , então $-1 \leq y \leq 1$ e portanto $-1 \leq \frac{x-2}{x+2} \leq 1$ .

Agora,

$-1 \leq \frac{x-2}{x+2} \leq 1 \Rightarrow -x-2\leq x-2\leq x+2\left\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x\leq 0 \Rightarrow x\leq 0\\ -2\leq 2 \end{matrix}\right.$

Como a segunda afirmação é verdadeira, então

$S = (-\infty, -2)\cup (-2 ,0]= \left \{ x \in \mathbb{R} \setminus -2 \neq x \leq 0 \right \}$

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