[Derivadas] plano tangente

por **Higor Yuri** » Seg Jun 18, 2012 12:33

Consigo achar a equação do plano qndo tenho um ponto e tudo, mas nessa questão me pede pra encontrar os pontos da esfera que é paralalelo a outro plano

Determine os pontos da esfera x²+y²+z²=1 onde o plano tangente é paralelo ao plano 2x + y - 3z = 2

por favor me ajudem

grato

por **LuizAquino** » Ter Jun 19, 2012 11:47

Higor Yuri escreveu:Consigo achar a equação do plano qndo tenho um ponto e tudo, mas nessa questão me pede pra encontrar os pontos da esfera que é paralalelo a outro plano

Determine os pontos da esfera x²+y²+z²=1 onde o plano tangente é paralelo ao plano 2x + y - 3z = 2

Dos conhecimentos de Geometria Analítica, sabemos que dois planos são paralelos quando seus vetores normais possuem a mesma direção (ou seja, os vetores normais são paralelos).

Sabemos que o vetor normal a esfera no ponto $(x_0,\,y_0,\,z_0)$ será dado por $\vec{n} = \nabla F (x_0,\,y_0,\,z_0)$ , onde $F(x,\,y,\,z) = x^2 + y^2 + z^2$ .

Caculando o gradiente, temos que $\vec{n} = (2x_0,\,2y_0,\,2z_0)$ .

Por outro lado, um vetor normal do plano 2x + y - 3z = 2 será dado por $\vec{m} = (2,\,1,\,-3)$ .

Para que os vetores $\vec{n}$ e $\vec{m}$ possuam a mesma direção, deve existir um escalar k tal que $\vec{n} = k\vec{m}$ . De onde concluímos que:

$(x_0,\,y_0,\,z_0) = \left(k,\,\frac{k}{2},\,-\frac{3k}{2}\right)$

Substituindo essa informação na equação da esfera, temos que:

$k^2 + \left(\frac{k}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3k}{2}\right)^2 = 1$

Agora tente concluir o exercício.

[Derivadas] plano tangente

[Derivadas] plano tangente

[Derivadas] plano tangente

Re: [Derivadas] plano tangente

Quem está online