Funcão diferenciável

por **Cleyson007** » Ter Jun 12, 2012 15:47

Boa tarde a todos!

Mostre que $f(x):={x}^{\frac{1}{3}},\,x\in\mathbb{R}$ , não é diferenciável em x=0

.

Bom, sei que se os limites laterais forem diferentes a função não é diferenciável. Mas os limites laterais em questão são iguais. Como prosseguir?

Obs.: Encontrei os limites pela direita e pela esquerda: $\lim_{h\rightarrow{0}^{+}}\frac{\sqrt[3]{{(a+h)}^{2}}-\sqrt[3]{{(a)}^{2}}}{h(\sqrt[3]{(a+h)}+\sqrt[3]{a})}$ e pela esquerda $\lim_{h\rightarrow{0}^{-}}\frac{\sqrt[3]{{(a+h)}^{2}}-\sqrt[3]{{(a)}^{2}}}{h(\sqrt[3]{(a+h)}+\sqrt[3]{a})}$

Como prosseguir nesse caso em que os limites laterais são iguais?

Ficarei grato se alguém puder me ajudar.

Cleyson007

por **e8group** » Ter Jun 12, 2012 17:37

Boa tarde Cleyson007 .

como , $f'(x)= \lim_{h\to 0}\frac{\left(\(\left x+h\right) ^\frac{1}{3} - x^\frac{1}{3}\right)}{h} = \frac{1}{3(x)^{\frac{2}{3}} } .$

Analizando f' , notamos que em x = 0 f'(x) converge para "mais infinito " .ou seja f' é descontinua em x = 0. Portanto a função f defenida por f(x) não é diferenciável em x = 0.

abraços !

por **joaofonseca** » Ter Jun 12, 2012 19:22

A forma mais facil de concluir que a função f não é diferenciável no ponto de abcissa x=0, é:

1)Observar o gráfico:

Como se observa e pode concluir, o declive da reta tangente ao gráfico em x=0 é infinito, logo (para muitos autores) não existe derivada.

2)Obter a expressão da 1ª derivada de f, através das regras de diferenciação e chegar à mesma conclusão que o santhiago chegou.

Optando por utilizar a definição de derivada, fica:

$f'(x)=\lim_{h \to 0} \space \frac{\sqrt[3]{x+h}-\sqrt[3]{x}}{h}$

Agora aplica-se a diferença de cubos para eliminar as raízes cúbicas, multiplicando numerador e denominador por:

$\sqrt[3]{(x+h)^2}+\sqrt[3]{x+h} \cdot \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}$

Depois de simplificar, ficamos com:

$f'(x)=\lim_{h \to 0} \space \frac{x+h-x}{h \cdot \left (\sqrt[3]{(x+h)^2}+\sqrt[3]{x+h} \cdot \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}}\right)$

A partir daqui é facil.Mas isto não é a definição de derivada num ponto!!!

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