[Dúvida]Função Trigonométrica Inversa em Integral.

por **Jhonata** » Qui Jun 07, 2012 18:06

O problema que estou trabalhando é: Calcule a integral: $\int\limits_{0}^\frac{1}{2}~ \frac{arcsenx}{\sqrt{1-x^2}} dx$

Minha resolução: Fazendo $u = arcsenx, du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ , logo os novos limites de integração são: quando x = 0, u = 0

e quando $x = \frac{1}{2}, u = \frac{\pi}{6}$ , assim: $\int\limits_{0}^\frac{\pi}{6}~ u$

Calculando a integral definida, temos: $\frac{u^2}{2} <(0)({\pi}{6})>$ (ou seja, de 0 à pi/6)

Substituindo os valores e segundo a parte dois do TFC, temos:

$\frac {arcsen^2(\frac{\pi}{6})}{2} - \frac {arcsen^2(0)}{2} =$ ...

Eis então minha dúvida:
Se os valores de x já estão em "arco" para arcsenx, então que valores devo tomar pra achar o resultado final? :l
Desde já, grato!!

por **MarceloFantini** » Qui Jun 07, 2012 20:22

Você confundiu na hora de aplicar a segunda parte do teorema fundamental do cálculo. Se você está na variável

, então deve usar os limites de integração de

. Se voltar para

, deve usar os limites de integração de

. Ou seja, faça

$\frac{u^2}{2} \Bigg\vert_0^{\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi^2}{72}$

ou

$\frac{arcsen^2 \left( x \right)}{2} \Bigg\vert_0^{\frac{1}{2}} = \frac{arcsen^2 \left( \frac{1}{2} \right)}{2}$ .