[Numeros Complexos] : No circulo trigonometrico?

por **Priscilamoraes307** » Sex Jun 01, 2012 20:35

Determine $\beta$ para que o SISTEMA tenha solução única:

$\left|Z \right|$ = 4

$\left|Z - i \right|$ = $\beta$

Só consegui fazer que $\left|Z \right|$ = x² + y² = 16 raio = 4

é uma equação da circunferência com raio = 4 ? Tenho que achar o afixo? como faço para achar o angulo?

Obrigada!!!!!!!

por **Russman** » Sáb Jun 02, 2012 03:15

Sim, o módulo de z ser 4 implica que você está considerando o conjunto de números complexos que distam 4 unidades da origem. Ou seja, uma circunferência de raio 4.

Agora, a segunda informação diz que se você sutrái i de z ele deve calcular um módulo beta. Vamos ver oq isso significa:

$z=x+yi\Rightarrow \left | z \right |=x^{2}+y^{2} = 4$

$z-i = x + (y-1)i\Rightarrow \left | z-i \right |=x^{2}+(y-1)^{2}=x^{2}+ y^{2}-2y-1 = \beta$

Da 1° equação, sabemos que x² + y² = 4. Apliquemos então na segunda equação esse resultado.

$x^{2}+ y^{2}-2y-1 = 4-2y-1=3-2y=\beta \Rightarrow y=\frac{3-\beta }{2}$

O que me vem a mente é que para z ser complexo então y dever ser não nulo. Assim temos

$\beta\neq 3$ .

"Solução única" seria selecionar somente 1 complezo de módulo 4. Não sei...

por **MarceloFantini** » Sáb Jun 02, 2012 12:45

Você quer duas circunferências tangentes. Uma tem centro na origem e raio 4 enquanto que a outra tem centro em

e raio a determinar. Pela configuração do problema, vemos que a solução é $\beta = 3$ . Mas a circunferência pode tangenciar inferiormente apenas, logo $\beta = 5$ também.

por **Russman** » Sáb Jun 02, 2012 19:54

Áh, sim! Eu escrevi errado a segunda equação. O correto seria

$z-i = x + (y-1)i\Rightarrow \left | z-i \right |=\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{x^{2}+ y^{2}-2y+1} = \beta \Rightarrow x^{2}+ y^{2}-2y+1 = \beta ^{2}$

Fazendo o mesmo processo que anteriormente, obtemos

$17-2y = \beta ^{2} \Rightarrow y=\frac{17-\beta ^{2}}{2}$ .

Agora aplicando este resultado na 1° equação, faz-se uma euqção em x

$x^{2}=\frac{-225}{4}+\frac{17}{2}\beta ^{2}-\frac{\beta^{4}}{4}$

que tem duas soluções: $x=\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{-225}{4}+\frac{17}{2}\beta ^{2}-\frac{\beta^{4}}{4}}\\ -\sqrt{\frac{-225}{4}+\frac{17}{2}\beta ^{2}-\frac{\beta^{4}}{4}} \end{matrix}\right.$

de onde existira resposta única para o problema quando forem iguais. Logo,

$\sqrt{\frac{-225}{4}+\frac{17}{2}\beta ^{2}-\frac{\beta^{4}}{4}} = -\sqrt{\frac{-225}{4}+\frac{17}{2}\beta ^{2}-\frac{\beta^{4}}{4}}\Rightarrow \frac{-225}{4}+\frac{17}{2}\beta ^{2}-\frac{\beta^{4}}{4} = 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \beta =5\\ \beta =3 \end{matrix}\right.$ .

Portanto, a solução pra o seu problema é z = -4i