Ajuda de Calculo 2?

por **edu2012** » Ter Mai 29, 2012 16:38

Boa tarde, gostaria de um exemplo de integral imprópria quando ela converge ou Diverge até agora não estou entendendo.
um exemplo
?
? x+1/(x²+2x) dx
1
desde de já agradeço.

por **LuizAquino** » Ter Mai 29, 2012 20:53

edu2012 escreveu:Boa tarde, gostaria de um exemplo de integral imprópria quando ela converge ou Diverge até agora não estou entendendo.
um exemplo
?
? x+1/(x²+2x) dx
1

Do jeito que você escreveu, a integral seria:

$\int_1^{+\infty}x+\frac{1}{x^2 + 2x}\,dx$

Mas ao que parece, a integral original seria:

$\int_1^{+\infty}\frac{x + 1}{x^2 + 2x}\,dx$

Se esse for o caso, então você deveria ter escrito algo como:

$\int_1^{+\infty}(x + 1)/\left(x^2 + 2x\right)\,dx$

Note a importância do uso adequado dos parênteses.

Supondo que essa seja a integral que você deseja calcular, a primeira coisa que você precisa fazer é resolver a integral indefinida. Nesse caso, você irá obter:

$\int \frac{x + 1}{x^2 + 2x}\,dx = \frac{1}{2}\left(\ln|x| + \ln|x+2|\right) + c$

Depois que você resolveu a integral indefinida, você pode partir para resolver a integral imprópria. Você deve seguir o seguinte procedimento:

$\int_1^{+\infty} \frac{x + 1}{x^2 + 2x}\,dx = \lim_{t\to+\infty} \int_1^{t} \frac{x + 1}{x^2 + 2x}\,dx$

$= \lim_{t\to+\infty} \left[\frac{1}{2}\left(\ln|x| + \ln|x+2|\right)\right]_1^t$

$= \lim_{t\to+\infty} \frac{1}{2}\left(\ln|t| + \ln|t+2|\right) - \frac{1}{2}\left(\ln|1| + \ln|1+2|\right)$

$= \lim_{t\to+\infty} \frac{1}{2}\left(\ln|t| + \ln|t+2|\right) - \frac{1}{2}\left(\ln|1| + \ln|1+2|\right)$

$= \lim_{t\to+\infty} \frac{1}{2}\left(\ln|t| + \ln|t+2|\right) - \frac{1}{2}\ln 3$

$= \lim_{t\to+\infty} \frac{1}{2}\left(\ln|t| + \ln|t+2|\right) - \frac{1}{2}\ln 3$

$= \frac{1}{2}\left(+\infty + \infty\right) - \frac{1}{2}\ln 3$

$= +\infty$

Como o resultado da integral imprópria foi infinito, temos que ela é divergente.

Se no final dos cálculos você tivesse encontrado como resultado um valor fixo, então a integral imprópria seria convergente. Por exemplo, considere a seguinte integral imprópria:

$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$

Note que:

$\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + c$

Sendo assim, temos que:

$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{t\to +\infty} \int_1^{t} \frac{1}{x^2}$

$= \lim_{t\to +\infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_1^t$

$= \lim_{t\to +\infty} \left(-\frac{1}{t}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right)$

$= \lim_{t\to +\infty} -\frac{1}{t} + 1$

= 0 + 1 = 1

Como o resultado da integral imprópria foi um valor fixo, temos que ela é convergente. Nesse caso, diremos que essa integral imprópria converge para 1.

por **edu2012** » Qua Mai 30, 2012 09:24

Luis Aquino Obrigado.

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