Números complexos - Questão chata

por **iceman** » Dom Mai 27, 2012 18:08

Oi, eu aqui denovo, peço ajuda para essa questão:
Dado o número complexo z=2+2i

Calcular

a)

b) $z^4=-64-8\sqrt3i$
c) $z^4=-64+\sqrt3i$
d) $z^4=-8+8\sqrt3i$
e) Nenhuma das alternativas

Obrigado quem me ajudar =D

por **DanielFerreira** » Dom Mai 27, 2012 18:21

Dica:
calcule z^2

depois faça z^4 = (z^2)^2

.

Lembre-se que:
i^0 = 1

por **iceman** » Dom Mai 27, 2012 19:12

danjr5 escreveu:Dica:
calcule depois faça .

Lembre-se que:

Não consigo resolver, ajuda mais ? :oops:

por **Russman** » Dom Mai 27, 2012 19:17

Use a identidade

${z}^{n}={\rho}^{n}(cos(n\theta)+i.sin(n\theta))$ ,

onde z=a+i.b

, $\rho=\sqrt[]{{a}^{2}+{b}^{2}}$ e $\theta = arctan(\frac{b}{a})$ .

por **iceman** » Dom Mai 27, 2012 19:20

Russman escreveu:Use a identidade

${z}^{n}={\rho}^{n}(cos(n\theta)+i.sin(n\theta))$ ,

onde , $\rho=\sqrt[]{{a}^{2}+{b}^{2}}$ e $\theta = arctan(\frac{b}{a})$ .

Entendi nada :S Tem como resolver ai pra mim ?

por **Russman** » Dom Mai 27, 2012 19:32

Ok, esquece a identidade! k

Veja que z=2 + 2i = 2(1+i)

. Assim, como

${z}^{4} = {({z}^{2})}^{2}$ ,

então

${z}^{2} = {2}^{2}{(1+i)}^{2}= 4(1.1 + 1.i + 1.i + i.i) = 4(1+i+i-1) = 4(2i) = 8i$ .

Agora,

${z}^{4} = {({z}^{2})}^{2}={(8i)}^{2} = 64(-1) = -64$ .

por **iceman** » Dom Mai 27, 2012 19:37

Russman escreveu:Ok, esquece a identidade! k

Veja que . Assim, como

${z}^{4} = {({z}^{2})}^{2}$ ,

então

${z}^{2} = {2}^{2}{(1+i)}^{2}= 4(1.1 + 1.i + 1.i + i.i) = 4(1+i+i-1) = 4(2i) = 8i$ .

Agora,

${z}^{4} = {({z}^{2})}^{2}={(8i)}^{2} = 16(-1) = -16$ .

Só uma coisa, porquê colocou sinal negativo aqui 4(1+i+i-1)

? Obrigado por me ajudar

por **Russman** » Dom Mai 27, 2012 19:38

Porque

.

por **iceman** » Dom Mai 27, 2012 19:39

iceman escreveu:
Russman escreveu:Ok, esquece a identidade! k

Veja que . Assim, como

${z}^{4} = {({z}^{2})}^{2}$ ,

então

${z}^{2} = {2}^{2}{(1+i)}^{2}= 4(1.1 + 1.i + 1.i + i.i) = 4(1+i+i-1) = 4(2i) = 8i$ .

Agora,

${z}^{4} = {({z}^{2})}^{2}={(8i)}^{2} = 16(-1) = -16$ .

Só uma coisa, porquê colocou sinal negativo aqui ? Obrigado por me ajudar

AAAAh desculpa te incomodar, mais porquê aqui ficou assim: (1.1 + 1.i + 1.i + i.i)

? Obrigado mais uma vez D;

por **Russman** » Dom Mai 27, 2012 19:43

Tem que calcular

${(1+i)}^{2}$ .

Isso é

(1+i)(1+i) = 1.1 + 1.i + 1.i + i.i = 2i

por **iceman** » Dom Mai 27, 2012 21:01

iceman escreveu:
Russman escreveu:Ok, esquece a identidade! k

Veja que . Assim, como

${z}^{4} = {({z}^{2})}^{2}$ ,

então

${z}^{2} = {2}^{2}{(1+i)}^{2}= 4(1.1 + 1.i + 1.i + i.i) = 4(1+i+i-1) = 4(2i) = 8i$ .

Agora,

${z}^{4} = {({z}^{2})}^{2}={(8i)}^{2} = 16(-1) = -16$ .

Só uma coisa, porquê colocou sinal negativo aqui ? Obrigado por me ajudar