Dúvida em exercício - Equação da reta

[Danilo]

Pessoal, estou com dificuldades para entender o enunciado... segue o exercício!

Entre os triângulos OAB com o vértice O na origem e os outros dois vértices A e B, respectivamente, nas retas y =1 e y =3 e alinhados com o ponto P(7,0), determine aquele para o qual é mínima a soma dos quadrados dos lados.

Mas por que ''os triângulos OAB''? ''determine aquele (seria aquele triangulo para o qual é mínima a soma dos quadrados dos lados?)

Quem puder me explicar e me dar idéia sobre qual caminho seguir eu agradeço!

[Danilo]

Bom, para tentar resolver, inicialmente, eu fiz o gráfico com o ponto (7,0), tracei respectivamente as retas que passam pelos pontos (0,1), (0,3), tracei também a reta que passa pelos pontos (0,1), (0,3), (7,0). Depois tracei um segmento que vai da origem até as retas... mas não consegui visualizar triângulo algum... . To meio confuso, quem puder dar uma luz aí.. agradeço!

[LuizAquino]

Pessoal, estou com dificuldades para entender o enunciado... segue o exercício!

Entre os triângulos OAB com o vértice O na origem e os outros dois vértices A e B, respectivamente, nas retas y =1 e y =3 e alinhados com o ponto P(7,0), determine aquele para o qual é mínima a soma dos quadrados dos lados.

Mas por que ''os triângulos OAB''? ''determine aquele (seria aquele triangulo para o qual é mínima a soma dos quadrados dos lados?)

Quem puder me explicar e me dar idéia sobre qual caminho seguir eu agradeço!

Bom, para tentar resolver, inicialmente, eu fiz o gráfico com o ponto (7,0), tracei respectivamente as retas que passam pelos pontos (0,1), (0,3), tracei também a reta que passa pelos pontos (0,1), (0,3), (7,0). Depois tracei um segmento que vai da origem até as retas... mas não consegui visualizar triângulo algum... . To meio confuso, quem puder dar uma luz aí.. agradeço!

As figuras abaixo ilustram três exemplos para o triângulo OAB. Mas note que há infinitos exemplos. Basta "deslizar" o ponto A sobre a reta y = 1 que teremos um outro ponto B correspondente na reta y = 3 (e de tal modo que A, B e P estão alinhados).

figura1.png (4.39 KiB) Exibido 3927 vezes

figura2.png (4.25 KiB) Exibido 3927 vezes

figura3.png (5.21 KiB) Exibido 3927 vezes

De todos os infinitos triângulos OAB que podemos formar, deseja-se aquele que tem a seguinte soma como a menor possível:



Agora tente concluir o execício. Se você não conseguir, então poste aqui até onde você conseguiu avançar.

[Danilo]

Bom, tentei fazer assim:

Chamei o ponto B (b,3), o ponto A (a, 1). Como B, A e P estão alinhados, peguei os 3 pontos, montei o determinante e igualei a zero. Coloquei b em função de a e vi que b = 3a - 14. Aí, fazendo a distância entre os pontos OB, OA E BA e elevando tudo ao quadrado, logo vou obter o quadrado dos lados + a distância. Aí, cheguei no polinomio de segundo grau 14a² - 140a + 406 e não consegui terminar. Está correto o racionio? Tem maneiras mais simples de resolver? Valeu!

[LuizAquino]

Chamei o ponto B (b,3), o ponto A (a, 1). Como B, A e P estão alinhados, peguei os 3 pontos, montei o determinante e igualei a zero. Coloquei b em função de a e vi que b = 3a - 14. Aí, fazendo a distância entre os pontos OB, OA E BA e elevando tudo ao quadrado, logo vou obter o quadrado dos lados + a distância. Aí, cheguei no polinomio de segundo grau 14a² - 140a + 406 e não consegui terminar. Está correto o racionio?

Esse é o raciocínio esperado para o exercício.

Note que no final você obteve uma função como:



Se você fizesse o gráfico dessa função, então teria uma parábola com concavidade para cima. Sendo assim, o vértice dessa parábola é o ponto de mínimo dessa função. A coordenada x desse vértice será dada por:



Temos então que para a = 5 a soma será a menor possível.

Lembrando agora que b = 3a - 14, temos que b = 1.

Portanto, os pontos são A = (5, 1) e B = (1, 3).

Tem maneiras mais simples de resolver?

Eu acredito que essa já é a maneira mais simples.

[Danilo]

A é mesmo... pela enésima vez, muito obrigado !