Retas

por **manuoliveira** » Qua Mai 23, 2012 16:28

Calcular o valor de m para que as retas r e s sejam coplanares:
r: y = 2x + 3 e z = 3x - 1
s: (x-1)/2 = y/(-1) = z/m

Quem souber, por favor dê uma ajudinha... obrigada!!

por **LuizAquino** » Qua Mai 23, 2012 20:44

manuoliveira escreveu:Calcular o valor de m para que as retas r e s sejam coplanares:
r: y = 2x + 3 e z = 3x - 1
s: (x-1)/2 = y/(-1) = z/m

Você precisa começar determinando os vetores diretores das retas.

Um vetor diretor de s é fácil perceber que é $\vec{d_s} = (2,\,-1,\,m)$ .

Já para perceber o vetor diretor de r, vamos fazer x = t e montar as seguintes equações paramétricas:

$r:\begin{cases} x = t \\ y = 3 + 2t \\ z = -1 + 3t \end{cases}$

Desse modo, um vetor diretor para a reta r será $\vec{d_r} = (1,\,2,\,3)$ .

Note que para qualquer valor de m, sempre os vetores $\vec{d_r}$ e $\vec{d_s}$ terão direções diferentes. Portanto, as retas r e s podem ser: reversas ou concorrentes.

Se elas forem reversas, então elas não são coplanares.

Mas se elas forem concorrentes, então elas serão complanares. Esse é o caso que nos interessa.

Ora, para que elas sejam concorrentes deve haver um ponto de interseção. Ou seja, deve existir um ponto P = (a, b, c) tal que:

$\begin{cases} b = 2a + 3 \\ c = 3a - 1 \\ \frac{a-1}{2} = \frac{b}{-1} = \frac{c}{m} \end{cases}$

Substituindo b e c na terceira equação, ficamos com:

$\frac{a-1}{2} = \frac{2a+3}{-1} = \frac{3a-1}{m}$

Considerando a primeira parte dessa equação, temos que:

$\frac{a-1}{2} = \frac{2a+3}{-1} \implies a - 1 = -4a -6 \implies a = -1$

Considerando agora a última parte dessa equação, já substituindo a = -1, temos que:

$\frac{-2 + 3}{-1} = \frac{-3-1}{m} \implies m = 4$

Portanto, para m = 4 teremos as retas r e s complanares e concorrentes, sendo que o ponto de interseção será P = (-1, 1, -4).

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