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[Derivadas]- Taxas Relacionadas

[Derivadas]- Taxas Relacionadas

Mensagempor Ana_Rodrigues » Dom Mai 13, 2012 09:33

Um farol giratório completa uma volta a cada 15 segundos. O farol está a 60m de P, o ponto mais próximo em uma praia retilínea. Determine a razão em que um raio de luz do farol está se movendo ao longo da praia em um ponto, Q, a 150m de P.


Resposta:

3480\pi m/min


Eu não estou conseguindo achar uma equação que relacione o ponto P e Q. Primeiro eu pensei na seguinte situação

O farol seria o centro das circunferências que passam pelos pontos P e Q e pensei nos pontos P, Q e o farol como pontos colineares, daí seria fácil achar o raio da circunferência que passa por Q, mas não necessariamente isso tem que ocorrer. Daí o máximo que consegui fazer foi achar a taxa de variação de P que é:

\frac{dp}{dt}= 480\pi m/min

Como posso achar uma equação que relacione P e Q?
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Re: [Derivadas]- Taxas Relacionadas

Mensagempor LuizAquino » Seg Mai 14, 2012 10:16

Ana_Rodrigues escreveu:Um farol giratório completa uma volta a cada 15 segundos. O farol está a 60m de P, o ponto mais próximo em uma praia retilínea. Determine a razão em que um raio de luz do farol está se movendo ao longo da praia em um ponto, Q, a 150m de P.

Resposta:
3480\pi m/min



Ana_Rodrigues escreveu:Eu não estou conseguindo achar uma equação que relacione o ponto P e Q. Primeiro eu pensei na seguinte situação

O farol seria o centro das circunferências que passam pelos pontos P e Q e pensei nos pontos P, Q e o farol como pontos colineares, daí seria fácil achar o raio da circunferência que passa por Q, mas não necessariamente isso tem que ocorrer. Daí o máximo que consegui fazer foi achar a taxa de variação de P que é:

\frac{dp}{dt}= 480\pi m/min

Como posso achar uma equação que relacione P e Q?


Note que P, Q e F não são colineares. Além disso, essa taxa de variação que você determinou não faz sentido.

Vejamos o início da resolução.

A figura abaixo ilustra o exercício.

figura.png
figura.png (11.64 KiB) Exibido 5358 vezes


Deseja-se saber o que acontece quando x = 150 m. Nesse caso, teremos S = Q.

Como o farol dá 1 volta completa a cada 15 segundos, temos que a taxa de variação do ângulo \alpha em relação ao tempo é igual a \frac{2\pi}{15}\textrm{ rad/s} . Em outras palavras, temos que \frac{d\alpha}{dt} = \frac{2\pi}{15}\textrm{ rad/s} .

Analisando o triângulo retângulo ilustrado na figura, temos que:

\textrm{tg}\,\alpha = \frac{x}{60} \implies x = 60 \, \textrm{tg}\,\alpha

Sendo assim, temos que:

\frac{dx}{dt} = \frac{dx}{d\alpha}\frac{d\alpha}{dt} = \left(60\sec^2\alpha\right)\frac{2\pi}{15}

Quando x = 150 m, no triângulo retângulo temos que:

\sec \alpha = \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{1}{\frac{60}{\sqrt{60^2 + 150^2}}} = \frac{\sqrt{29}}{2}

Agora tente continuar o exercício a partir daí.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}