Uma prova por indução

por **alexandre32100** » Ter Ago 17, 2010 01:11

Prove que
$\displaystyle{1+2\cdot\binom{n}{1}+4\cdot\binom{n}{2}+\ldots+2^{n-1}\cdot\binom{n}{n-1}+2^n\cdot\binom{n}{n}=3^n}$
usando indução sobre

.

por **Douglasm** » Ter Ago 17, 2010 10:13

Olá Alexandre. Não me vem a mente no momento um jeito de provar isso por indução, mas um jeito muito mais simples e objetivo seria comparar essa soma com o desenvolvimento de um binômio. Note que:

$(x + y)^n = \sum_{k=0}^n x^{n-k}.y^k . \binom{n}{k}$

A soma que você tem é:

$\sum_{k=0}^n 1^{n-k}.2^k.\binom{n}{k}$

Consequentemente, essa soma corresponde ao binômio:

(1 + 2)^n = 3^n

Mas fica em aberto para alguém demonstrar isso usando o método de indução, que é o que pede o problema. Até a próxima.

por **Guill** » Qui Mai 03, 2012 00:01

Suponhamos que a seguinte igualdade é verdade para um número n:

$\binom{n}{0}+2.\binom{n}{1}+4.\binom{n}{2}+...+2^n.\binom{n}{n} = 3^n$

Dessa forma:

$\binom{n+1}{0}+2.\binom{n+1}{1}+4.\binom{n+1}{2}+...+2^n.\binom{n+1}{n}+2^{n+1}.\binom{n+1}{n+1}$

Pelo Teorema de Stifell:

$\binom{n}{0}+2.\binom{n}{0}+2.\binom{n}{1}+4.\binom{n}{1}+4.\binom{n}{2}+...+2^n.\binom{n}{n-1}+2^n.\binom{n}{n}+2^{n+1}.\binom{n+1}{n+1}$

$3.\binom{n}{0}+6.\binom{n}{1}+12.\binom{n}{2}+...+3.2^{n-1}.\binom{n}{n-1}+3.2^n.\binom{n}{n}$

$3.\left(\binom{n}{0}+2.\binom{n}{1}+4.\binom{n}{2}+...+2^n.\binom{n}{n} \right)=3^{n+1}$

Uma vez provada essa propriedade, basta testar para n = 1, o que resulta em 3¹ = 3.

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