Derivadas e continuidade.

por **matematicouff** » Dom Abr 29, 2012 16:07

Como posso resolver essa questão?
- Seja $f(x)=-\frac{x}{2}, x<1 e f(x)=\frac{1}{\sqrt[]{x}}, x\geq1$
i)f é diferenciável em x=1?
ii)f é contínua em x=1?

por **LuizAquino** » Ter Mai 01, 2012 14:48

matematicouff escreveu:Como posso resolver essa questão?
- Seja $f(x)=-\frac{x}{2}, x<1 e f(x)=\frac{1}{\sqrt[]{x}}, x\geq1$
i)f é diferenciável em x=1?
ii)f é contínua em x=1?

Temos a função:

$f(x) = \begin{cases} -\dfrac{x}{2},\; x < 1 \\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{x}},\; x\geq 1 \end{cases}$

Para que f seja diferenciável em x = 1, o limite abaixo deve existir e ser finito:

$\lim_{x\to1 }\frac{f(x)-f(1)}{x - 1}$

Para verificar se esse limite existe, precisamos calcular os limites laterias.

Limite pela esquerda.

$\lim_{x \to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-}\frac{-\frac{x}{2} - 1}{x - 1}$

$= \lim_{x \to 1^-} - \frac{x+2}{2(x - 1)} = +\infty$

Só pelo fato desse limite lateral ser infinito, já poderíamos dizer que f não é diferenciável em x = 1. Mas apenas para que você pratique, vejamos o cálculo do limite pela direita.

Limite pela direita.

$\lim_{x \to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - 1}{x - 1}$

$= \lim_{x \to 1^+}\frac{1- \sqrt{x}}{\sqrt{x}(x - 1)}$

$= \lim_{x \to 1^+}\frac{\left(1- \sqrt{x}\right)\left(1 + \sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}(x - 1)\left(1 + \sqrt{x}\right)}$

$= \lim_{x \to 1^+}\frac{1 - x}{\sqrt{x}(x - 1)\left(1 + \sqrt{x}\right)}$

$= \lim_{x \to 1^+}-\frac{1}{\sqrt{x}\left(1 + \sqrt{x}\right)} = -\frac{1}{2}$

Como os limites laterais são diferentes, temos que não existe o limite $\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ . Como esse limite não existe, temos que a função f não é diferenciável em x = 1.

Vejamos agora se f é contínua em x = 1. Para que ela seja, devemos ter $\lim_{x\to 1} f(x) = f(1)$ .

Vamos calcular os limites laterais.

Limite pela esquerda.

$\lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-} -\frac{x}{2} = -\frac{1}{2}$

Limite pela direita.

$\lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x}} = 1$

Como os limites laterais são diferentes, temos que não existe o limite $\lim_{x\to 1} f(x)$ . Como esse limite não existe, já podemos dizer que a função f não é contínua em x = 1.

Derivadas e continuidade.

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