Diferenciabilidade x continuidade.

por **jemourafer** » Sáb Abr 28, 2012 00:18

Estava fazendo uma lista de cálculo I-A e me deparei com essas duas questões parecidas, porém intrigantes. Os enunciados das questões são o seguinte:

1) Seja $f(x)=\frac{3-x}{2}$ , se x<1; e $f(x)=\frac{1}{\sqrt[]{x}}$ , se x $\geq$ 1; a)f é diferenciável em x=1? b)f é contínua em x=1?
Resposta do gabarito: f é diferenciável em x=1 pois f'(1)=-1/2; f é contínua em x=1, pois tem um teorema que garante que toda função diferenciável num ponto é contínua nesse ponto.

2)Seja $f(x)=-\frac{x}{2}$ , se x<1; e $f(x)=\frac{1}{\sqrt[]{x}}$ , se x $\geq$ 1; a)f é diferenciável em x=1? b)f é contínua em x=1?
Resposta do gabarito:f não é contínua em x=1, pois $\lim_{x->1-}f(x)=-1/2\neq\lim_{x->1+}f(x)=1$ ; f não é diferenciável em x=1 pois se fosse, f seria contínua em x=1.

Minha resolução: Na 1ª questão resolvi dessa forma: A função f é diferenciável em x=1 somente se $\lim_{x->1} f(x)$ existir.

$\lim_{x->p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p}$ =

$\lim_{x->1-} \frac{\frac{3-x}{2}-\frac{3-1}{2}}{x-1}=-\frac{1}{2}$ :. $\lim_{x->1+}\frac{\frac{1}{\sqrt[]{x}}-\frac{1}{\sqrt[]{1}}}{x-1}=-\frac{1}{2}$ . Como $\lim_{x->1-}f(x)=-\frac{1}{2}=\lim_{x->1+} f(x)$ , concluímos que o limite bilateral existe e então podemos dizer que f(x) é derivável em x=1. A função também é contínua em x=1, pois é derivável nesse ponto. Essa minha resposta está de acordo com o gabarito!
Já a 2ª questão, tentei fazer da mesma forma e deu que $\lim_{x->1-}f(x)=-\frac{1}{2}$ (que está de acordo com o gabarito), mas quando $\lim_{x->1+}f(x)$ deveria valer -1/2 como na questão anterior, no gabarito diz que vale 1. No que eu errei?

por **MarceloFantini** » Dom Abr 29, 2012 15:28

Note que para x<1

temos que $f'(x) = \frac{-1}{2}$ , enquanto que para $x \geq 1$ temos $f'(x) = - \frac{1}{2 \sqrt{x^3}}$ . Calculando os limites laterais, vemos $\lim_{x \to 1^+} f'(x) = \frac{-1}{2}$ e $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \frac{-1}{2}$ . Como coincidem, o limite existe e a função é diferenciável no ponto, portanto contínua.

Seu entendimento está incorreto. A função pode ser contínua sem ser diferenciável, como no caso $f(t) = t \cos \left( \frac{1}{t} \right)$ na origem, ou de forma mais extrema procure sobre a função de Weierstrass.

Agora, o teorema afirma que se uma função é diferenciável num ponto, então ela é contínua neste ponto. A contrapositiva desta afirmação nos diz que se uma função não é contínua num ponto, então ela não é diferenciável neste ponto.

Ou seja, quando queremos testar se uma função é diferenciável, podemos primeiro verificar se ela é contínua. Se for, então talvez ela seja diferenciável, porém se não for então com certeza não é diferenciável. Na primeira questão caso tivesse testado a continuidade veria que existia a possibilidade de ser diferenciável.

Na segunda questão temos $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{-1}{2}$ enquanto que $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$ . Como os limites terais são distintos, então a função não é contínua neste ponto, e pelo teorema não é diferenciável.

por **jemourafer** » Dom Abr 29, 2012 21:49

Sim, compreendi que a função não é contínua, pois os limites laterais são diferentes. Logo, pelo teorema, também não é diferenciável. Mas o ponto em que eu tenho dúvida é na conta dos limites em si. Pois nas contas que fiz, os limites laterais da questão 2 dão o mesmo resultado (que nem na questão 1). Assim:
$\lim_{x->p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$

$\lim_{x->1-}\frac{(-\frac{x}{2})-(-\frac{1}{2})}{x-1}= \lim_{x->1-}\frac{\frac{1-x}{2}}{x-1}= \lim_{x->1-}\frac{1-x}{2(x-1)}= -\frac{1}{2}$

$\lim_{x->1+}\frac{\frac{1}{\sqrt[]{x}}-\frac{1}{\sqrt[]{1}}}{x-1}= \lim_{x->1+}\frac{\frac{1-\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}}}{x-1}=$ $\lim_{x->1+}\frac{1-\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}(x-1)}=$ $\lim_{x->1+}\frac{1-\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}(x-1)}\frac{(1+\sqrt[]{x})}{(1+\sqrt[]{x})}=$

$\lim_{x->1+}\frac{1+\sqrt[]{x}-\sqrt[]{x}-x}{\sqrt[]{x}(x-1)(1+\sqrt[]{x})}=$ $\lim_{x->1+}\frac{1-x}{\sqrt[]{x}(x-1)(1+\sqrt[]{x})}=$ $\lim_{x->1+}-\frac{1}{(\sqrt[]{x})(1+\sqrt[]{x})}=$ $-\frac{1}{2}$ .

A resposta correta é $\lim_{x->1-}=-\frac{1}{2}$ e $\lim_{x->1+}=1$ . E como você pode ver nas minhas contas, meus limites laterais deram o mesmo resultado $(\lim_{x->1+}= - \frac{1}{2} = \lim_{x->1-})$