Geometria Analítica

[marinalcd]

Seja ABC um triângulo de area 4 tal que AB está contido em r1 e AC está contido em r2, onde r1 = {(t; 3t + 1; 0); com t pertencendo aos reais} e r2 e paralela ao vetor u = (3; 1; 0) e passa pelo ponto M = (3; 2; 0). Determine a equacão da reta r3 paralela ao vetor v = (1;-1; 0) que contém o lado BC e determine os vertices A, B e C do triângulo.

Bom, consegui achar o vértice A , calculando a interseção entre as retas r1 e r2.

tentei usar a fórmula da área do triângulo por determinante, para achar outro vértice, mas não consegui, não deu certo.
Depois disse que um ponto para montar a equação de r3 seria o mesmo ponto de r2 = (3,2,0). Mas depois parei para pensar e vi que não posso afirmar que o ponto de interseção dentre r2 e r3 é esse.

Não estou conseguindo achar os vértices B e C e não sei sde posso montar a equação de r3 desse jeito.
Alguém pode me ajudar??

[LuizAquino]

Seja ABC um triângulo de área 4 tal que AB está contido em r1 e AC está contido em r2, onde r1 = {(t; 3t + 1; 0); com t pertencendo aos reais} e r2 é paralela ao vetor u = (3; 1; 0) e passa pelo ponto M = (3; 2; 0). Determine a equação da reta r3 paralela ao vetor v = (1;-1; 0) que contém o lado BC e determine os vértices A, B e C do triângulo.

Bom, consegui achar o vértice A , calculando a interseção entre as retas r1 e r2.

Ok. Nesse caso, temos que A = (0, 1, 0).

tentei usar a fórmula da área do triângulo por determinante, para achar outro vértice, mas não consegui, não deu certo.

Você vai precisar usar o fato de que .

Depois disse que um ponto para montar a equação de r3 seria o mesmo ponto de r2 = (3,2,0). Mas depois parei para pensar e vi que não posso afirmar que o ponto de interseção dentre r2 e r3 é esse.

De fato, você não pode afirmar isso. A final de contas, a interseção entre r2 e r3 deve ser o ponto C. Fazendo a suposição de que r3 passa por (3, 2, 0) (que é um ponto pertencente a r2), você estaria dizendo que C é igual a (3, 2, 0). Mas isso não é verdade.

Vejamos como seguir pelo caminho da área do triângulo.

Pelos dados do exercício, o vetor é paralelo a reta r3. Além disso, a reta r3 contém BC. Desse modo, devemos ter . Isso significa que existe um escalar k tal que . Portanto, temos que .

Como B pertence a reta r1 e C pertence a reta r2, temos que B = (b; 3b + 1; 0) e C = (3c + 3; c + 2; 0), com b e c sendo algum escalar.

Sendo assim, temos que:











Substituindo c por b - 1 na expressão para o ponto C, temos que C = (3b; b + 1; 0).

Por outro lado, a área de ABC é igual a 4. Isso significa que .

Mas sabemos que:





Sendo assim, temos que:



Agora tente continuar o exercício a partir daí.