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Soma de Dois Radicais Cúbicos

Soma de Dois Radicais Cúbicos

Mensagempor sony01 » Sex Abr 27, 2012 12:10

A expressão x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} é múltiplo de 4. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique matemáticamente.

Cálculo

Eu sei que: (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3

x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}

x^3 = (\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})^3

x^3 = 20 + \not 14 \sqrt{2} + 3( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}})^2 \cdot (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}) + 3( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}) \cdot (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})^2 + 20 - \not 14 \sqrt{2}

x^3 = 40 + 3( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}) \cdot (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}) \cdot \left[  \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right]

x^3 = 40 + 3( \sqrt[3]{400 - 392}) \cdot \left[ \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right]

Mas, x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}, então eu posso substituir:

x^3 = 40 + 3\sqrt[3]{8} \cdot x
x^3 = 40 + 6x
x^3 - 6x - 40 = 0
x^3 - 64 - 6x + 24 = 0
(x - 4) \cdot (x^2 + 4x  + 16) - 6(x - 4) = 0
(x - 4) \cdot (x^2 + 4x + 16 - 6) = 0
(x - 4) \cdot (x^2 + 4x + 10)

Resolvendo (x - 4):

x - 4 = 0
x = 4

Logo, verdadeira!
Pessoal, primeiramente gostaria de saber se existe algum modo "mais fácil" de se chegar a este resultaldo, também gostaria de saber o nível dessa questão de 1 a 10 tendo como base um aluno do 9º ano.

Desde já Agradeço! :)
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sony01
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Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: