inequação, Pontos na reta.

por **ygor_macabu** » Qui Abr 19, 2012 23:05

olá. estou com uma duvida nesse exercício $(x² -5x +6)/ (1X² -x +42)\geq 0$
achei as raízes , porem não estou conseguindo agrupa-las na reta devido as exeções da questão.
deu $x\geq3 ou x\geq2 e x<-7 ou x<6$

por **ednaldo1982** » Qui Abr 19, 2012 23:39

A função x² - 5x + 6 é positiva no intervalo (-inf,2)U(3,+inf). Já a x²-x+42 é positiva para todo x real, isto é, (-inf,+inf).

Assim, o quociente será maior ou igual a zero em (-inf,2]U[3,+inf) .

por **ygor_macabu** » Sex Abr 20, 2012 00:31

por exemplo se em uma equação de segundo grau, utiliza-se as duas raízes para fazer a intercessão das retas?

por **ednaldo1982** » Sex Abr 20, 2012 00:43

[x² - 5x + 6] / [x² - x + 42] >= 0

Restrições:

[x² - x + 42] tem que ser diferente de zero.

Delta = b² - 4 . a . c
Delta = (-1)² - 4 . 1 . 42
Delta = 1 - 168
Delta = - 167

Como delta é negativo não existe raiz real. Como o valor de a é positivo a concavidade da parábola é voltada para cima. Portanto, qualquer que seja o valor de x sempre teremos um valor positivo (e nunca será zero) para esta função.

Como sabemos que a função da parte de baixo da fração sempre será positiva, e que quando dividimos a parte de cima pela de baixo temos que ter um valor igual ou maior que zero, significa que a função de cima, pode resultar em zero ou ser um valor positivo, pois, se for negativo vem a regra de sinal e teríamos um resultano menor que zero.

Então, calculemos a função de cima x² - 5x + 6 = 0, e verificamos o estudo dos sinais da mesma.

Delta = b² - 4 . a . c
Delta = (-5)² - 4 . 1 . 6
Delta = 25 - 24
Delta = 1
$\sqrt[]{\Delta}$ = 1

x = $\frac{-b +ou- \sqrt[]{\Delta} }{2a}$

x = $\frac{-(-5) +ou- (1) }{2}$

x = $\frac{ 5 +ou- (1) }{2}$

x' = (5 + 1) / 2 = 6/2 = 3

x" = (5 - 1) / 2 = 4/2 = 2

A função da parte de cima é igual a zero quando x = 2 ou x = 3.

Esta função também tem concavidade para cima pois a é positivo.

Os valores menores que 2 geram resultados positivos (mesmo que a), os valores entre 2 e 3 geram resultados negativos (contrário de a) e os valores maiores que 3 geram resultados positivos (mesmo que a).

Portanto,como a função de cima não pode ser negativa devemos excluir o intervalo em que ela tem resultados negativos que é do 2 ao 3.

Sendo assim, a solução do exercício fica:

${ x \in \Re | (-\infty , 2] \cup [3 , +\infty) }$