Algebra Linear

por **ramahk** » Qua Abr 04, 2012 18:11

Dados os vetores OA = [1 2 -2], OB = [3 0 1],e OC = [2 3 -3], pede-se:

a) Calcule a altura relativa h ao vértice C do paralelogramo formado pelos vetores AB e AC;
b) A área a do paralelogramo.

a)
AB = OA - OB => [-2 2 -3] (chamei de vetor a)
AC = OA - OC => [-1 -1 1] (chamei de vetor b)

Por Pitágoras: a² * cos² D + h² = a²
dai vem: h² = 17 * sen² D;

como ainda não aprendi produto interno, não da pra usar a desigualdade de Cauchy e não consigo sair daqui...

b) Área do paralelogramo = ||a|| * ||b|| = sqrt (17*3).

por **LuizAquino** » Qui Abr 05, 2012 20:22

ramahk escreveu:Dados os vetores OA = [1 2 -2], OB = [3 0 1],e OC = [2 3 -3], pede-se:

a) Calcule a altura relativa h ao vértice C do paralelogramo formado pelos vetores AB e AC;
b) A área a do paralelogramo.

ramahk escreveu:a)
AB = OA - OB => [-2 2 -3] (chamei de vetor a)
AC = OA - OC => [-1 -1 1] (chamei de vetor b)

Essas subtrações não fazem sentido. O correto seria:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 3\end{bmatrix}$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1\end{bmatrix}$

ramahk escreveu:Por Pitágoras: a² * cos² D + h² = a²
dai vem: h² = 17 * sen² D;

Isso que você escreveu não faz sentido. Se a é um vetor, você não pode escrever a². Não está definida a operação de potenciação entre vetores.

A figura abaixo ilustra o exercício.

: figura.png (6.84 KiB) Exibido 615 vezes

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CDE, temos que:

$h^2 + \left\|\overrightarrow{ED}\right\|^2 = \left\|\overrightarrow{CD}\right\|^2$

Note o uso dos módulos. Como o módulo é um escalar (um número), podemos elevá-lo ao quadrado.

Continuando, temos que: $\left\|\overrightarrow{CD}\right\| = \left\|\overrightarrow{AB}\right\|$ e $\cos \alpha = \frac{\left\|\overrightarrow{ED}\right\|}{\left\|\overrightarrow{CD}\right\|}$ . Sendo assim, podemos escrever que:

$h^2 + \left\|\overrightarrow{AB}\right\|^2\cos^2 \alpha= \left\|\overrightarrow{AB}\right\|^2$

ramahk escreveu:como ainda não aprendi produto interno, não da pra usar a desigualdade de Cauchy e não consigo sair daqui...

Mesmo que você já tivesse estudado a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, não faria sentido tentar aplicar uma desigualdade nesse exercício.

Se você já tivesse estudado o produto interno, então bastava aplicar a relação:

$\cos \alpha = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\left\|\overrightarrow{AB}\right\|\left\|\overrightarrow{AC}\right\|}$

Mas já que você ainda não estudou isso, a saída é aplicar a Lei dos Cossenos no triângulo ABC. Desse modo, temos que:

$\left\|\overrightarrow{BC}\right\|^2 = \left\|\overrightarrow{AB}\right\|^2 + \left\|\overrightarrow{AC}\right\|^2 - 2\left\|\overrightarrow{AB}\right\|\left\|\overrightarrow{AC}\right\|\cos \alpha$

Nessa equação, você já sabe quanto vale $\left\|\overrightarrow{AB} \right\|$ e $\left\|\overrightarrow{AC} \right\|$ . Falta determinar o valor de $\left\|\overrightarrow{BC}\right\|$ . Para determinar esse valor, lembre-se que $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}$ . Por fim, depois que você determinar aquele módulo a única coisa que fica faltando na equação é $\cos \alpha$ . Ou seja, com essa equação você pode determinar o valor de $\cos \alpha$ . A partir disso fica fácil determinar o valor de h.

ramahk escreveu:b) Área do paralelogramo = ||a|| * ||b|| = sqrt (17*3).

Errado. A área S do paralelogramo será:

$S = \left\|\overrightarrow{BD} \right\|h$

Lembrando que $\left\|\overrightarrow{AC}\right\| = \left\|\overrightarrow{BD}\right\|$ , podemos dizer que a área será:

$S = \left\|\overrightarrow{AC} \right\|h$

Agora tente terminar o exercício.

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