[limite] ajuda num exercício

por **Fabio Wanderley** » Dom Abr 01, 2012 16:43

A letra "a" está ok:

a) Calcule $\lim_{x \to +\infty}\frac{x^3 + 3x - 1}{2x^3 - 6x + 1} = \frac{1}{2}$

Peço ajuda na letra "b"

b) Mostre que existe r > 0 tal que $x > r \Rightarrow \frac{1}{4} < \frac{x^3 + 3x - 1}{2x^3 - 6x + 1} < \frac{3}{4}$

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O livro deixou um dica: "Aplique a definição de limite com $\epsilon = \frac{1}{4}$ "

Mas mesmo assim não entendi...

Desde já agradeço!

por **MarceloFantini** » Dom Abr 01, 2012 17:31

Qual é a definição de um limite $\lim_{x \to + \infty} f(x) = L$ ? Este é o primeiro passo.

por **Fabio Wanderley** » Dom Abr 01, 2012 18:49

MarceloFantini escreveu:Qual é a definição de um limite $\lim_{x \to + \infty} f(x) = L$ ? Este é o primeiro passo.

Eu estava observando esta:

$\lim_{x \to p}f(x) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ tal que, para todo $x \in Df$ , $0 < \left|x - p \right| < \delta \Rightarrow \left|f(x) - L \right| < \epsilon$

por **MarceloFantini** » Dom Abr 01, 2012 19:19

Isto é quando a variável tende a um número, mas e no caso do infinito?

por **Fabio Wanderley** » Dom Abr 01, 2012 19:47

MarceloFantini escreveu:Isto é quando a variável tende a um número, mas e no caso do infinito?

Definição: Seja f uma função e suponhamos que exista a tal que ]a, + $\infty \subset Df$ . Definimos

$\lim_{x \to +\infty} = L \Leftrightarrow \forall\epsilon > 0, \exists\delta > 0$ , com $\delta > a$ , tal que $x > \delta \Rightarrow L - \epsilon < f(x) < L + \epsilon$ .

GUIDORIZZI

O "r" do exercício é o $\delta$ na definição? E qual é o porquê de fazer $\epsilon = \frac{1}{4}$ ? Notei que o limite calculado se encontra entre 1/4 e 3/4

por **MarceloFantini** » Dom Abr 01, 2012 22:32

Sim, o

do exercício é o $\delta$ da definição. O porque de $\varepsilon = \frac{1}{4}$ é para notar que $L - \varepsilon = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ e $L + \varepsilon = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .

por **Fabio Wanderley** » Seg Abr 02, 2012 00:25

$\lim_{x \to +\infty}f(x)= L = \frac{1}{2}, com: \epsilon = \frac{1}{4}, \exists r > 0, tal-que: x > r \Rightarrow \frac{1}{2} - \frac{1}{4} < f(x) < \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Obrigado pela ajuda, Marcelo!