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Como terminar essa aplicação de limite?

Como terminar essa aplicação de limite?

Mensagempor samra » Qui Mar 29, 2012 22:11

\lim_{x->1}(5x+4)=9
resolvendo fica assim ó:
|f(x)-L|<\epsilon \Leftrightarrow 0<|x-a|<\delta
|3x+1+5|<\epsilon
|3x+6|<\epsilon
3|x+2|<\epsilon

|x+2|<\frac{\epsilon}{3}

0<|x-a|<\delta
portanto:
\delta=\frac{\epsilon}{3}

Depois disso, meu professor faz mais alguma coisa que ele chega numa conclusão qe
\epsilon=\delta , e ele disse que só essa forma acima não está totalmente certo, pq ainda não foi provado que o limite existe, pois só é provado qdo \epsilon=\delta
alguem sabe como fazê-lo?
Se sim, coloke o passo a passo com explicação do jeito que eu consiga entender (ainda sou um pouco leiga em limites, principalmente na definição formal)
obg ^^
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Re: Como terminar essa aplicação de limite?

Mensagempor LuizAquino » Sex Mar 30, 2012 19:40

samra escreveu:\lim_{x->1}(5x+4)=9

resolvendo fica assim ó:
|f(x)-L|<\epsilon \Leftrightarrow 0<|x-a|<\delta
|3x+1+5|<\epsilon
|3x+6|<\epsilon
3|x+2|<\epsilon

|x+2|<\frac{\epsilon}{3}

0<|x-a|<\delta
portanto:
\delta=\frac{\epsilon}{3}


A sua resolução está errada.

Vejamos a definição formal de limite.

Dizemos que \lim_{x\to c} f(x) = L quando temos que: dado \varepsilon > 0 existe \delta > 0 tal que 0 < |x - c| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon .

No exercício, temos o limite:

\lim_{x\to 1} 5x+4 = 9

Precisamos então provar que: dado \varepsilon > 0 existe \delta > 0 tal que 0 < |x - 1| < \delta \Rightarrow |(5x + 4) - 9| < \varepsilon .

Começando pela segunda inequação, temos que:

|(5x + 4) - 9| < \varepsilon

|5x - 5| < \varepsilon

5|x - 1| < \varepsilon

|x - 1| < \dfrac{\varepsilon}{5}

Portanto, na definição formal devemos tomar \delta = \frac{\varepsilon}{5} . Isto é, dado \varepsilon > 0 fazendo \delta = \frac{\varepsilon}{5} temos que 0 < |x - 1| < \delta \Rightarrow |(5x + 4) - 9| < \varepsilon .

Vamos agora verificar que essa escolha de \delta está correta. Ou seja, vamos verificar que para essa escolha temos que: 0 < |x - 1| < \delta \Rightarrow |(5x + 4) - 9| < \varepsilon .

|x - 1| < \delta

|x - 1| < \dfrac{\varepsilon}{5}

5|x - 1| < \varepsilon

|5x - 5| < \varepsilon

|(5x + 4) - 9| < \varepsilon

Com isso provamos que:

\lim_{x\to 1} 5x + 4 = 9

samra escreveu:Depois disso, meu professor faz mais alguma coisa que ele chega numa conclusão qe
\epsilon=\delta , e ele disse que só essa forma acima não está totalmente certo, pq ainda não foi provado que o limite existe, pois só é provado qdo \epsilon=\delta


Você deve estar confundindo a explicação dada. No caso desse exercício que você enviou, não vamos obter que \delta = \varepsilon .
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Re: Como terminar essa aplicação de limite?

Mensagempor samra » Sex Mar 30, 2012 20:50

Nooh, descupa, eu postei errado o limite :$
é esse akió \lim_{x\rightarrow -2} 3x+1=-5

a resolução que eu fiz foi referente ao limite acima :(

se levado em consideração o \lim_{x\rightarrow -2} 3x+1=-5
minha resolução está certa ou não? :idea:

Obrigada!
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Re: Como terminar essa aplicação de limite?

Mensagempor fraol » Sáb Mar 31, 2012 00:16

No caso dessa última função que você apresentou, seu

\delta = \frac{\epsilon}{3}

está correto. Contudo, a demonstração deveria seguir o modelo daquela apresentada acima pelo colega LuizAquino.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}