espaço vetorial e subespaço

[ewald]

Ola, estou fazendo alguns exercicios tirados do livro de AL do Leon. Fiquei com MUITA duvida em duas questoes em particular. Vou botar as duas questoes e depois falo a duvida mais especificada.

7. Mostre que o elemento 0 de um espaço vetorial é único.
Nesta questao 7 eu tentei "mostrar" usando o axioma de espaços vetoriais que diz: v+0 = v (vetor qlq "v" pertencente ao esp. vetorial V somado do vetor nulo tem como resultado o proprio vetor "v"). Pra isso eu fiz assim:
Sendo "v" e "u" vetores pertencentes à V, v = (v1,v2, ... ,vn) e u = (u1,u2, ... ,un). Obs.: "u" representa o vetor nulo
Aplicando o axioma: v+u = v

v + u = ( v1+u1 , v2+u2 , ... , vn+un )
v + u = v

( v1+u1 , v2+u2 , ... , vn+un ) = (v1,v2, ... ,vn)
Fazendo o sistema ficaria
|v1 + u1 = v1
|v2 + u2 = v2 Obviamente a resposta do sistema seria (0,0, ...,0) e esta foi mais ou menos minha resposta.
| ....
|vn + un = vn

Mesmo me parecendo rezoavel o que eu fiz meu prof. disse que esta errado e nao resolveu pra mim, entao to meio perdido mesmo.

5. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de P4. (Cuidado!)
(a) O conjunto dos polinômios em R^4 de grau par.

Nesta questao embora eu consiga ver que o axioma da soma "falha" (ja que ha casos que por exemplo o grau do polinomio soma pode ser 3 ou 1), eu nao consigo descrever minha resposta. nao consigo achar por exemplo dois vetores pra polinomio genericos que possam provar o que eu estou afirmando.


Bem estas sao minhas duvidas, se alguem puder ajudar eu agradeço muito. E ja aproveitando, se alguem souber onde eu posso encontrar o gabarito para exercicios impares (se tive pares melhor ainda) do livro Algebra Linear e Aplicaçoes de Stevens J. Leon por favor poste aqui, pois so tenho a lista com os exercicios nao tenho o livro.

[nietzsche]

Sobre o livro do Elon, tem um livro publicado pelo IMPA com o resumo da teoria, os enunciados e as resoluções dos exercícios do livro do Elon de Álgebra Linear.
http://www.impa.br/opencms/pt/publicaco ... index.html

5. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de P4. (Cuidado!)
(a) O conjunto V dos polinômios em R^4 de grau par.
Nesta questao embora eu consiga ver que o axioma da soma "falha" (ja que ha casos que por exemplo o grau do polinomio soma pode ser 3 ou 1), eu nao consigo descrever minha resposta. nao consigo achar por exemplo dois vetores pra polinomio genericos que possam provar o que eu estou afirmando.

Se p, q pertencem a V, e são definidos por p(x) = x + x^2, q(x) = x - x^2, então p(x) + q(x) = 2x. Então o grau de p(x) + q(x) é 1, que é ímpar. Portanto, p(x)+ q(x) não pertence a V.

[LuizAquino]

7. Mostre que o elemento 0 de um espaço vetorial é único.

Note que o objetivo é provar que existe um único elemento neutro (isto é, um único "0") em um espaço vetorial.

Nesta questao 7 eu tentei "mostrar" usando o axioma de espaços vetoriais que diz: v+0 = v (vetor qlq "v" pertencente ao esp. vetorial V somado do vetor nulo tem como resultado o proprio vetor "v").

Ok.

Sendo "v" e "u" vetores pertencentes à V, v = (v1,v2, ... ,vn) e u = (u1,u2, ... ,un). Obs.: "u" representa o vetor nulo

Aqui já tem um erro. Você está considerando que V tem dimensão finita (e é igual a n). Mas e quanto aos espaços de dimensão infinita? Note que no enunciado do exercício o espaço vetorial é qualquer. Não foi especificado que ele é necessariamente de dimensão finita.

Aplicando o axioma: v+u = v

v + u = ( v1+u1 , v2+u2 , ... , vn+un )
v + u = v

( v1+u1 , v2+u2 , ... , vn+un ) = (v1,v2, ... ,vn)
Fazendo o sistema ficaria
|v1 + u1 = v1
|v2 + u2 = v2 Obviamente a resposta do sistema seria (0,0, ...,0) e esta foi mais ou menos minha resposta.
| ....
|vn + un = vn

Aqui você apenas provou que u=(0, 0, ..., 0) é um vetor nulo do espaço. Mas ele é único? Você não provou isso!

Mesmo me parecendo rezoavel o que eu fiz meu prof. disse que esta errado e nao resolveu pra mim, entao to meio perdido mesmo.

A estratégia padrão para provar afirmações do tipo "existe um único", é supor que existem dois objetos distintos que atendem a afirmação, mas no final provar que esses dois objetos na verdade são iguais. Isso é um tipo de prova que chamamos de redução ao absurdo.

Suponha que no espaço vetorial V existem dois elementos neutros distintos: u e v.

Desse modo, para qualquer vetor w em V temos que:
w + u = w
w + v = w

Isto é, temos que:
w + u = w + v

Ora, a partir disso concluímos que u = v. Mas isso é um absurdo, pois a hipótese inicial era que u e v são distintos.

Conclusão: em um espaço vetorial não pode haver dois elementos neutros distintos. Em outras palavras, o elemento neutro de um espaço vetorial é único.

[ewald]

Obrigado aos dois que responderam. Quanto a segunda resposta ,,, bem acho que meu erro de finito, infinito é porque nao tenho essas ideias ainda, ao menos ate onde eu li do livro do Leon nao tinha nada falando disso.

[MarceloFantini]

O livro do Elon de álgebra linear trabalha apenas em dimensão finita.