Números Inteiros

por **Pri Ferreira** » Qua Mar 21, 2012 14:51

A quantidade de números inteiros compreendidos entre 0 e
4000, que podem ser expressos como a soma de duas ou
mais potências distintas de 5, é igual a:
(A) 54
(B) 55
(C) 56
(D) 57
Gostaria mt de ver a resolução!!Ajuda!! Por favor!!

por **LuizAquino** » Sex Mar 23, 2012 09:23

Pri Ferreira escreveu:A quantidade de números inteiros compreendidos entre 0 e
4000, que podem ser expressos como a soma de duas ou
mais potências distintas de 5, é igual a:
(A) 54
(B) 55
(C) 56
(D) 57

Pri Ferreira escreveu:Gostaria mt de ver a resolução!!

Você deseja descobrir a quantidade de números inteiros entre 0 e 4.000 que possuam o seguinte formato:

$x = 5^{a} + 5^{b}$

$y = 5^{a} + 5^{b} + 5^{c}$

$z = 5^{a} + 5^{b} + 5^{c} + 5^{d}$

(...)

A primeira pergunta a se fazer é: quantas parcelas no máximo podemos ter?

Para responder essa pergunta, precisamos determinar o número natural n tal que:

$5^0 + 5^1 + 5^2 + \cdots + 5^n \leq 4.000$

Note que no primeiro membro dessa inequação nós temos a soma dos n+1 termos de uma p. g., de primeiro termo 1 e razão 5. Temos então que:

$\dfrac{1\cdot\left(5^{n+1} - 1\right)}{5 - 1} \leq 4.000$

$5^{n+1} \leq 16.001$

Como 5^6 = 15.625

e

, temos que no máximo n + 1 = 6. Ou seja, no máximo podemos ter 6 parcelas.

Agora a pergunta é: quantos números inteiros distintos podemos formar somando 2 ou mais números da lista $\{5^0,\, 5^1,\, 5^2,\, 5^3,\, 5^4,\, 5^5\}$ ?

Uma dica: lembre-se do conceito de combinação.

por **Pri Ferreira** » Dom Mar 25, 2012 19:51

Entendi!!Consegui terminar!! Fiz a combinação de 6 tomados 2, 3, 4 , 5 e 6 separadamente e depois somei e cheguei na resposta!!!
Mt obrigada!!!
Tá me ajudando mt!!

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