Integral dupla - 2

por **DanielFerreira** » Dom Mar 18, 2012 12:44

Seja A o retângulo $1 \leq x \leq 2$ , $0 \leq y \leq 1$ . Calcule $\int_{}^{}\int_{A}^{}\frac{1}{x + y}$ dx dy

por **LuizAquino** » Dom Mar 18, 2012 12:47

danjr5 escreveu:Seja A o retângulo $1 \leq x \leq 2$ , $0 \leq y \leq 1$ . Calcule $\int\int_{A}\frac{1}{x + y}$ dx dy

Qual foi a sua dificuldade? Por favor, envie a sua tentativa.

por **DanielFerreira** » Dom Mar 18, 2012 15:43

danjr5 escreveu:Seja A o retângulo $1 \leq x \leq 2$ , $0 \leq y \leq 1$ . Calcule $\int_{}^{}\int_{A}^{}\frac{1}{x + y}$ dx dy

$\int_{1}^{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{x+y}$ dy dx =

$\int_{1}^{2}\left[ln (x+y) dy\right]_{0}^{1}$ dx =

F(1) = ln (x + 1)
F(0) = ln x

$\int_{1}^{2}$ ln (x+1) - ln x dx = $\int_{1}^{2}$ ln (x+1) dx - $\int_{1}^{2}$ ln x dx

$\int_{1}^{2}$ ln (x+1) dx = (x + 1) . ln (x+1) - 1

$\int_{1}^{2}$ ln x dx = x . ln x - 1

$\int_{1}^{2}$ ln (x+1) - ln x dx = $ln (x+1)^{(x+1)} - ln x^x$

Vou ter que revisar integraçãp por partes quando a integral for definida. "x" deveria sumir, né?!

por **MarceloFantini** » Dom Mar 18, 2012 17:21

Você não avaliou nos extremos ainda.

por **LuizAquino** » Dom Mar 18, 2012 19:36

danjr5 escreveu: $\int_{1}^{2}ln (x+1) dx = (x + 1) . ln (x+1) - 1$

$\int_{1}^{2}ln x dx = x . ln x - 1$

Vou ter que revisar integração por partes quando a integral for definida. "x" deveria sumir, né?!

Reveja o cálculo dessas integrais. Lembre-se que:

$\int \ln u\, du = u\ln u - u + c$

Além disso, como lembrou o colega MarceloFantini, após determinar a antiderivada você deve aplicar os limites de integração. Ou seja, temos que:

$\int_a^b \ln u\, du = [u\ln u - u]_a^b = (b\ln b - b) - (a\ln a - a)$