Dúvida exercício de inequação

por **Danilo** » Dom Mar 18, 2012 11:39

Segue o exercício:

Considere a desigualdade 2x - 4/ x +1 > 1

(a) x = -2 é solução para a desigualdade?

Bom, primeiro eu tentei encontrar o conjunto solução, mas parece que encontrei uma contradição na minha resposta... resolvi da seguinte maneiro:

x + 1 ? 0 => x ? - 1 (porque não é possível fazer divisões por zero)

para simplificar a expressão, vou multiplicar a ambos os membros por x + 1. como não sei se x + 1 é positivo ou negativo vou considerar para os dois casos.

primeiro para x + 1 positivo, temos:

2x - 4/x +1 x x + 1 > x + 1 => 2x -4 > x + 1 => x > 5 então, => x > - 1 e x > 5 (então x é maior que - 1 ou maior que 5 ???) aí quando eu substituo, por exemplo, por 3, eu chego numa contradição. terminando o exercício..

para x + 1 um número negativo, temos :
2x - 4 < x + 1 => x < 5 e x < - 1 novamente eu chegon uma contradição.

O que estou fazendo errado que não encontro solução ?

bom, eu testo x = -2 e novamente eu chego numa contradição...

se mais alguém puder ajudar, agradeço imensamente.

por **fraol** » Dom Mar 18, 2012 12:14

Danilo,

Se a expressão for $\frac{2x - 4}{x +1} > 1$ , como você considerou que x deve ser diferente de -1, então

para x = -2

basta substituir e verificar:

$\frac{2x - 4}{x +1} > 1 \iff \frac{2(-2) - 4}{(-2) +1} > 1 \iff \frac{-8}{-1} = 8 > 1$ .

Assim a expressão é verdadeira para x = -2

.

por **Danilo** » Dom Mar 18, 2012 12:22

Fraol, eu cheguei numa resposta diferente. Me corrija se eu estiver errado. -8/-1 > 1 -8/ -1 é um número negativo correto? se ''virar'' um número positivo o outro membro da inequação ''vira'' um número negativo. Por exemplo se multiplicarmos ambos os membros por - 1 . aí ficaria: 8 < -1 . ou to errado?

por **fraol** » Dom Mar 18, 2012 12:33

Sim, quando você multiplica por um número negativo, você inverte o sentido da desigualdade.

O que ocorre é que você está deixando passar que $\frac{-8}{-1}$ é um número positivo ( 8 ), então se

8 > 1

temos que

.

por **LuizAquino** » Dom Mar 18, 2012 12:38

Danilo escreveu:Fraol, eu cheguei numa resposta diferente. Me corrija se eu estiver errado. -8/-1 > 1 -8/ -1 é um número negativo correto? se ''virar'' um número positivo o outro membro da inequação ''vira'' um número negativo. Por exemplo se multiplicarmos ambos os membros por - 1 . aí ficaria: 8 < -1 . ou to errado?

Veja o seu erro.

Temos a desigualdade:

$\dfrac{-8}{-1} > 1$

Ao multiplicar ambos os lados por -1, ficamos com:

$(-1)\cdot \dfrac{-8}{-1} < (-1)\cdot 1$

$\dfrac{(-1)\cdot (-8)}{-1} < -1$

$\dfrac{8}{-1} < -1$

Qual é o resultado de 8 dividido por -1? Ora, esse resultado é -8! Ficamos então com:

-8 < -1

Note que não há contradição alguma nessa desigualdade.

por **Danilo** » Dom Mar 18, 2012 12:54

Pessoal, desculpa aí pela derrapada... agora outra dúvida: eu fiz algo errado ao encontrar o conjunto solução? ou não há solução?

por **LuizAquino** » Dom Mar 18, 2012 13:05

Danilo escreveu:Pessoal, desculpa aí pela derrapada... agora outra dúvida: eu fiz algo errado ao encontrar o conjunto solução? ou não há solução?

Você dividiu corretamente em dois casos. Mas não soube montar a solução.

Caso 1) x > - 1 e x > 5

Você deve tirar a interseção entre esses dois intervalos.

$S_1 = (-1,\, +\infty) \cap (5,\, +\infty) = (5,\, +\infty)$

Essa é a solução do caso 1.

Caso 2) x < - 1 e x < 5

Você deve tirar a interseção entre esses dois intervalos.

$S_2 = (-\infty,\, -1) \cap (-\infty,\, 5) = (-\infty,\, -1)$

Essa é a solução do caso 2.

Solução Final

A solução final é a união das soluções de cada caso. Temos então que:

$S = S_1 \cup S_2 = (5,\, +\infty) \cup (-\infty,\, -1)$

Note que -2 pertence S. Portanto, -2 é solução da desigualdade original.