Teorema de Tales e Semelhança

por **Sal** » Sáb Mar 10, 2012 11:35

(UFRJ) A,B e D são pontos sobre a reta r e C1 e C2 são pontos não pertencentes a r tais que C1 , C2 e D são colineares. Conforme figura anexo.
Se S1 indica a área a área do triângulo ABC1 e S2 , a área do triângulo ABC2, e sabendo que DC1=7 , C1C2 = 9 e S2 = 4 . Determine S1.

tentei resolver este exercício usando a semelhança dos triângulos, mas não consigo provar que há semelhança entre eles.
Pensei em considerar o angulo B do triângulo C1BC2 como retângulo, também não consigo provar que é um triângulo retângulo . A solução pra S1 eu sei que é 14. Mas não consigo resolvê-lo.

por **LuizAquino** » Dom Mar 11, 2012 09:48

Sal escreveu:(UFRJ) A,B e D são pontos sobre a reta r e C1 e C2 são pontos não pertencentes a r tais que C1 , C2 e D são colineares. Conforme figura anexo.
Se S1 indica a área a área do triângulo ABC1 e S2 , a área do triângulo ABC2, e sabendo que DC1=7 , C1C2 = 9 e S2 = 4 . Determine S1.

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Sal escreveu:tentei resolver este exercício usando a semelhança dos triângulos, mas não consigo provar que há semelhança entre eles.
Pensei em considerar o angulo B do triângulo C1BC2 como retângulo, também não consigo provar que é um triângulo retângulo . A solução pra S1 eu sei que é 14. Mas não consigo resolvê-lo.

Os triângulos ABC1 e ABC2 não são semelhantes. Além disso, C1BC2 não é um triângulo retângulo.

Para resolver o exercício, considere a figura abaixo.

: figura.png (7.45 KiB) Exibido 3721 vezes

Note que C2DH2 e C1DH1 são semelhantes (tente justificar o motivo disso).

Como a área de ABC2 é igual a 4, temos que:

$\dfrac{\overline{AB}\;\overline{C_2H_2}}{2} = 4$

$\overline{C_2H_2} = \dfrac{8}{\overline{AB}}$

Agora, use a semelhança entre C2DH2 e C1DH1 para determinar $\overline{C_1H_1}$ . Esse segmento (assim como aconteceu com $\overline{C_2H_2}$ ) ficará dependente de $\overline{AB}$ .

Por fim, basta calcular a área S1 de ABC1 lembrando que:

$S_1 = \dfrac{\overline{AB}\;\overline{C_1H_1}}{2}$