Lei dos Cossenos

por **Joseaugusto** » Ter Mar 06, 2012 11:43

Um amigo me passou um exercício e por nada nesse mundo eu consigo resolvê-lo:

Imagem

o raciocínio que tive até aqui (chamei o alfa de x para facilitar a escrita):

a² = 2 - 2cosx

b² = 2 - 2cos(2x)
onde:
cos²(2x) = cos²(x +x) = cos²x - sen²x

portanto:
b² = 2 - 2(cos²x - sen²x)

da relação fundamental da trigonometria:
b² = 2 - 2[cos²x - (1-cos²x)]

b² = 2 - 2(2cos²x -1)
b² = 2 - 4cos²x -2
b² = 4 - 4cos²x

(b/a)² = 4(1 - cos²x) / 2(1 - cosx)
simplificando:
(b/a)² = 2(1 - cos²x) / (1 - cosx)

mas 1 -cos²x é um produto notável: (1 - cosx)(1 + cosx)
(b/a)² = 2(1 - cosx)(1 + cosx) / (1 - cosx)
(b/a)² = 2(1 + cosx)

portanto:
$\frac{b}{a} = \sqrt[2]{2(1 + cosx)}$

e travei aqui. Ja estou a mais de duas horas nesse exercicio e não consigo avançar

Alguma luz?

por **MarceloFantini** » Ter Mar 06, 2012 15:53

Não encontro erros na sua resolução. De onde é?

por **LuizAquino** » Ter Mar 06, 2012 15:54

Joseaugusto escreveu:portanto:
$\frac{b}{a} = \sqrt[2]{2(1 + cosx)}$

e travei aqui. Ja estou a mais de duas horas nesse exercicio e não consigo avançar

Alguma luz?

Dica:

$\cos^2 \left(\dfrac{\theta}{2}\right) = \dfrac{1+\cos \theta}{2}$