Dominio de validade!

por **Victor_tnk** » Sáb Fev 18, 2012 15:20

A função real f(x) = $\frac{2x}{\sqrt[2]{x^2-2x+1}+{\sqrt[2]{x^2+2x+1}}}$ tem domínio de validade igual a:

a) R
b) R, exceto {1}
c) R, exceto{-1}
d)R, exceto{-1,1}
e)R+

bom pelas minhas contas percebi que há dois trinômios quadrados perfeitos: $\frac{2x}{\sqrt[2]{(x+1)^2}+\sqrt[2]{(x-1)^2}}$
Usei a condição de existência :
${\sqrt[2]{(x+1)^2}+\sqrt[2]{(x-1)^2}} \neq 0$
e em seguida os deixei na forma de módulo :
$\left|x+1 \right| + \left|x-1 \right| \neq 0$

Meu resultado deu : $x\neq 0$ o que não bateu com nenhuma das respostas..
Alguém poderia me ajudar? esta questão me deu uma boa dor de cabeça e mesmo assim não consegui resolver.
Gostaria de saber o que eu fiz de errado, desde já agradeço muito.

por **LuizAquino** » Sáb Fev 18, 2012 17:48

Victor_tnk escreveu:A função real f(x) = $\frac{2x}{\sqrt[2]{x^2-2x+1}+{\sqrt[2]{x^2+2x+1}}}$ tem domínio de validade igual a:

a) R
b) R, exceto {1}
c) R, exceto{-1}
d)R, exceto{-1,1}
e)R+

Victor_tnk escreveu:bom pelas minhas contas percebi que há dois trinômios quadrados perfeitos: $\frac{2x}{\sqrt[2]{(x+1)^2}+\sqrt[2]{(x-1)^2}}$

Ok.

Victor_tnk escreveu:Usei a condição de existência :
${\sqrt[2]{(x+1)^2}+\sqrt[2]{(x-1)^2}} \neq 0$
e em seguida os deixei na forma de módulo :
$\left|x+1 \right| + \left|x-1 \right| \neq 0$

Na verdade, como temos a presença de raízes quadradas, as expressões que aparecem dentro delas não podem ser negativas. Ou seja, devemos ter as condições:

(i) $(x+1)^2 \geq 0$

(ii) $(x-1)^2 \geq 0$

Por outro lado, não pode haver uma expressão nula no denominador. Então precisamos também da condição:

(iii) $\sqrt{(x+1)^2}+\sqrt{(x-1)^2} \neq 0$

Note que os números $\sqrt{(x+1)^2}$ e $\sqrt{(x-1)^2}$ são sempre positivos. Portanto, para que sua soma seja igual a zero, seria necessário que esses dois números fossem zero. Entretanto, não há número real x que faça com que os números $\sqrt{(x+1)^2}$ e $\sqrt{(x-1)^2}$ sejam ambos iguais a zero. Conclusão: não importa o valor do número real x, sempre teremos a condição (iii) atendida.

Dessa forma, precisamos nos preocupar apenas com as condições (i) e (ii).

Agora tente concluir o exercício.

por **Victor_tnk** » Dom Fev 19, 2012 03:55

Muito obrigado mesmo! Ajuda surreal!
Consegui solucionar deste modo..

Mas agora me surgiu uma dúvida:
$\sqrt[2]{(x+1)^2} + \sqrt[2]{(x-1)^2}$
Eu não poderia simplesmente cortar o indice com o expoente? ficando:
(x+1)+(x-1)=2x

(denominador)
assim ficaria f(x)= $\frac{2x}{2x}$ , sendo o domínio podendo assumir qualquer numero real menos 0..
Entretanto deste modo não bate com o gabarito, gostaria de saber qual é o erro nessa jogada..
Muito obrigado!

por **LuizAquino** » Dom Fev 19, 2012 07:47

Victor_tnk escreveu:Mas agora me surgiu uma dúvida:
$\sqrt[2]{(x+1)^2} + \sqrt[2]{(x-1)^2}$
Eu não poderia simplesmente cortar o indice com o expoente? ficando:
(x+1)+(x-1)=2x (denominador)
assim ficaria $f(x)= \frac{2x}{2x}$ , sendo o domínio podendo assumir qualquer numero real menos 0..

Você não pode fazer isso. Lembre-se que: $\sqrt{a^2} = |a|$ .

Desse modo, simplificando o expoente com o índice, ficaríamos com:

$f(x) = \frac{2x}{|x+1| + |x-1|}$

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