Matriz

por **Claudin** » Qui Fev 16, 2012 19:19

Classifique entre Verdadeira e Falsa. (Se verdadeira, prove; se falsa, prove ou dê um contra-exemplo)
(d) Se A e B são simetricas então AB e simátrica. (Lembre-se: uma matriz A e dita simetrica se ${A}^{t}=A$ .)

$A = \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

$B = \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

$AB = \begin{bmatrix} 5 & 2\\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

Portanto afirmativa Falsa

por **MarceloFantini** » Qui Fev 16, 2012 21:13

Suas matrizes A e B não são simétricas, para que ela seja simétrica devemos ter que A^t = A

, o que não é verdade para seus exemplos, veja:

$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ , $A^t = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ , logo $A^t \neq A$ . Analogamente para B.

Porém a afirmação é falsa, veja que (AB)^t = B^tA^t = BA

que não necessariamente é igual a AB.

por **Claudin** » Sáb Fev 25, 2012 20:26

continuo sem entender

por **LuizAquino** » Sáb Mar 03, 2012 22:53

Claudin escreveu:continuo sem entender

Existe a seguinte propriedade das transpostas:

(AB)^t = B^tA^t

Mas na afirmação, as matrizes A e B são simétricas. Isso significa que A = A^t

e

. Substituindo isso na propriedade anterior, temos que:

(AB)^t = BA

Pois bem, para que a matriz AB seja simétrica, deveríamos ter (AB)^t = AB

. Entretanto, nós concluímos anteriormente que (AB)^t = BA

.

Por outro lado, sabemos que geralmente AB é diferente de BA. Portanto, não podemos afirmar com toda certeza que AB é simétrica.

Em resumo, a afirmação verdadeira seria:

Se A e B são simétricas e AB = BA, então AB é simétrica.

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