Simplificação

por **nathyn** » Qua Fev 15, 2012 16:14

Oie, eu estou estudando o livro "Fundamentos da matemática elementar 2" e para ir para o próximo capitulo faltam só essas 2 quatões que não consegui resolver.=( Me ajudem por favor. =)

1-) $\frac{2 + \sqrt[]{3}}{\sqrt[]{2} + \sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}}} + \frac{2 - \sqrt[]{3}}{\sqrt[]{2} - \sqrt[]{2 - \sqrt[]{3}}}$

Resp: $\sqrt[]{2}$

Eu multipliquei cada fração pelo inverso do seu denominador, para eliminar as raizes do mesmo e ficou:

$\frac{\left(2 + \sqrt[]{3} \right)\left(\sqrt[]{2} - \sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}} \right)}{2 - 2 -\sqrt[]{3}} + \frac{\left(2 - \sqrt[]{3} \right)\left(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{2 - \sqrt[]{3}} \right)}{2 - 2 +\sqrt[]{3}}$

Como o denominador da primeira era $- \sqrt[]{3}$ , o sinal do numerador da primeira foram mudados, ficando:

$\frac{-2 \sqrt[]{2} + 2\sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}} -\sqrt[]{6} + \sqrt[]{6 + 3\sqrt[]{3}}}{\sqrt[]{3}} + \frac{2 \sqrt[]{2} + 2\sqrt[]{2 - \sqrt[]{3}} -\sqrt[]{6} - \sqrt[]{6 - 3\sqrt[]{3}}}{\sqrt[]{3}}$

Calculando...

$\frac{2\sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}} - 2\sqrt[]{6} + \sqrt[]{6 + 3\sqrt[]{3}} - \sqrt[]{6 - 3\sqrt[]{3}}}{\sqrt[]{3}}$

Racionalizando o denominador fica:

$\frac{2\sqrt[]{6 + 3\sqrt[]{3}} -6\sqrt[]{2} + \sqrt[]{18 + 9\sqrt[]{3}} - \sqrt[]{18 - 9\sqrt[]{3}}}{3}$

Daí então não sei como resolver =/

2-) Calcule o valor de x sendo, $x = \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2 + ...}}}}$

...

por **LuizAquino** » Qui Fev 16, 2012 11:08

nathyn escreveu:1) $\frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} + \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{2 - \sqrt{3}}}$

nathyn escreveu:Eu multipliquei cada fração pelo inverso do seu denominador, para eliminar as raizes do mesmo e ficou:

$\frac{\left(2 + \sqrt{3} \right)\left(\sqrt{2} - \sqrt{2 + \sqrt{3}} \right)}{2 - 2 -\sqrt{3}} + \frac{\left(2 - \sqrt{3} \right)\left(\sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)}{2 - 2 +\sqrt{3}}$

Como o denominador da primeira era $-\sqrt{3}$ , o sinal do numerador da primeira foram mudados, ficando:

$\frac{-2 \sqrt{2} + 2\sqrt{2 + \sqrt{3}} -\sqrt{6} + \sqrt{6 + 3\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} + \frac{2 \sqrt{2} + 2\sqrt{2 - \sqrt{3}} -\sqrt{6} - \sqrt{6 - 3\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}$

Calculando...

$\frac{2\sqrt{2 + \sqrt{3}} - 2\sqrt{6} + \sqrt{6 + 3\sqrt{3}} - \sqrt[]{6 - 3\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}$

Você errou essa última passagem. O correto seria:

$\frac{2\sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2\sqrt{2 - \sqrt{3}} - 2\sqrt{6} + \sqrt{6 + 3\sqrt{3}} - \sqrt{6 - 3\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}$

Racionalizando o denominador, temos que:

$\frac{2\sqrt{6 + 3\sqrt{3}} + 2\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} - 6\sqrt{2} + \sqrt{18 + 9\sqrt{3}} - \sqrt{18 - 9\sqrt{3}}}{3}$

Essa expressão será equivalente a algum número. Vamos chamar esse número de x. Temos então:

$x = \frac{2\sqrt{6 + 3\sqrt{3}} + 2\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} - 6\sqrt{2} + \sqrt{18 + 9\sqrt{3}} - \sqrt{18 - 9\sqrt{3}}}{3}$

$3x + 6\sqrt{2}= 2\sqrt{6 + 3\sqrt{3}} + 2\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} + \sqrt{18 + 9\sqrt{3}} - \sqrt{18 - 9\sqrt{3}}$

Elevando ambos os membros da equação ao quadrado, temos que:

$9x^2 + 36\sqrt{2}x + 72 = \left(2\sqrt{6 + 3\sqrt{3}} + 2\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}\right)^2$ $+ 2\left(2\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}+ 2\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{18 + 9\sqrt{3}} - \sqrt{18 - 9\sqrt{3}}\right) + \left(\sqrt{18 + 9\sqrt{3}} - \sqrt{18 - 9\sqrt{3}}\right)^2$

Vamos desenvolver separadamente cada uma das partes que aparecem no segundo membro da equação.

Parte 1)

$\left(2\sqrt{6 + 3\sqrt{3}} + 2\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}\right)^2 = 4\left(6 + 3\sqrt{3}\right)$ $+ 8\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}\right) + 4\left(6 - 3\sqrt{3}\right)$

$= 24 + 12\sqrt{3} + 8\sqrt{6^2 - \left(3\sqrt{3}\right)^2} + 24 - 12\sqrt{3}$

$= 48 + 8\sqrt{36 - 27}$

= 72

Parte 2)

$2\left(2\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}+ 2\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{18 + 9\sqrt{3}} - \sqrt{18 - 9\sqrt{3}}\right)$ $= 4\left(\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}+ \sqrt{6 - 3\sqrt{3}}\right)\left[\sqrt{3}\left(\sqrt{6 + 3\sqrt{3}} - \sqrt{6 - 3\sqrt{3}}\right)\right]$

$= 4\sqrt{3}\left[\left(\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}\right)^2 - \left(\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}\right)^2\right]$

$= 4\sqrt{3}\left(6 + 3\sqrt{3} - 6 + 3\sqrt{3}\right)$

= 72

Parte 3)

$\left(\sqrt{18 + 9\sqrt{3}} - \sqrt{18 - 9\sqrt{3}}\right)^2 = \left[\sqrt{3}\left(\sqrt{6 + 3\sqrt{3}} - \sqrt{6 - 3\sqrt{3}}\right)\right]^2$

$= 3\left(6 + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} + 6 - 3\sqrt{3}\right)$

$= 3\left[12 - 2\sqrt{6^2 - \left(3\sqrt{3}\right)^2}\right]$

$= 3\left[12 - 2\sqrt{36 - 27}\right]$

= 18

Substituindo os valores das partes na equação, temos que:

$9x^2 + 36\sqrt{2}x + 72 = 72 + 72 +18$

$9x^2 + 36\sqrt{2}x - 90 = 0$

$x^2 + 4\sqrt{2}x - 10 = 0$

Resolvendo essa equação, obtemos $x_1 = -5\sqrt{2}$ e $x_2 = \sqrt{2}$ .

Analisando a expressão numérica original, percebemos que ela deve ser positiva. Portanto, a única possibilidade válida é $x = \sqrt{2}$ .

nathyn escreveu:2-) Calcule o valor de x sendo, $x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots}}}}$

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos que:

$x^2 = 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots}}}$

As reticências que aparecem dentro do radical, representam que podemos continuar o desenvolvimento da expressão seguindo o mesmo padrão. Sendo assim, podemos escrever que:

$x^2 = 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots}}}}$

x^2 = 2 + x