Matriz

por **Claudin** » Ter Fev 07, 2012 16:57

Não consegui resolver o seguinte sistema
obs: Pelo método de Gauss Jordan

2x + y - 2z = 10
3x + 2y + 2z = 1
5x + 4y + 3z = 4

por **LuizAquino** » Ter Fev 07, 2012 19:24

Claudin escreveu:Não consegui resolver o seguinte sistema
obs: Pelo método de Gauss Jordan

2x + y - 2z = 10
3x + 2y + 2z = 1
5x + 4y + 3z = 4

Matriz ampliada:
$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 & 10 \\ 3 & 2 & 2 & 1 \\ 5 & 4 & 3 & 4 \end{bmatrix}$

1º Passo) Operações:
$L_2 \leftarrow 2L_2 - 3L_1$

$L_3 \leftarrow 2L_3 - 5L_1$

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 & 10 \\ 0 & 1 & 10 & -28 \\ 0 & 3 & 16 & -42 \end{bmatrix}$

2º Passo) Operação:
$L_3 \leftarrow L_3 - 3L_2$

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 & 10 \\ 0 & 1 & 10 & -28 \\ 0 & 0 & -14 & 42 \end{bmatrix}$

3º Passo) Operações:
$L_1 \leftarrow 7L_1 - L_3$

$L_2 \leftarrow 14L_2 + 10L_3$

$\begin{bmatrix} 14 & 7 & 0 & 28 \\ 0 & 14 & 0 & 28 \\ 0 & 0 & -14 & 42 \end{bmatrix}$

4º Passo) Operação:
$L_1 \leftarrow 2L_1 - L_2$

$\begin{bmatrix} 28 & 0 & 0 & 28 \\ 0 & 14 & 0 & 28 \\ 0 & 0 & -14 & 42 \end{bmatrix}$

5º Passo) Operações:
$L_1 \leftarrow \frac{1}{28}L_1$

$L_2 \leftarrow \frac{1}{14}L_2$

$L_3 \leftarrow -\frac{1}{14}L_3$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \end{bmatrix}$

Solução: x = 1, y = 2 e z = -3.

Observação

Eu recomendo que você assista as seguintes videoaulas do canal do Nerckie:

Matemática - Aula 23 - Sistemas Lineares - Parte 4
Matemática - Aula 23 - Sistemas Lineares - Parte 5

por **Claudin** » Qua Fev 08, 2012 02:41

Esse método pelo qual você explicou não seria o escalonamento?

O método de Gauss Jordan que aprendi seria transformar em "pivôs", no caso a¹¹, a²² e o a³³, no caso esses 3 valores sendo igual a 1

Aí sim, efetuar as operações elementares, para zerar as colunas e linhas.

Claro seguindo a ordem se o pivô for a¹¹, no caso eu buscaria zerar a primeira coluna, e assim respectivamente.

por **LuizAquino** » Qua Fev 08, 2012 09:53

Claudin escreveu:Esse método pelo qual você explicou não seria o escalonamento?

Não. No método de escalonamento (ou Método de Gauss), o objetivo é deixar a matriz do sistema na forma triangular.

Isto é, deixar a matriz no formato:

$\begin{bmatrix}a_{11}^\prime & a_{12}^\prime & a_{13}^\prime \\ 0 & a_{22}^\prime & a_{23}^\prime \\ 0 & 0 & a_{33}^\prime\end{bmatrix}$

Por outro lado, no método Gauss-Jordan o objetivo é deixar a matriz do sistema na forma diagonal.

Isto é, deixar a matriz no formato:

$\begin{bmatrix}a_{11}^\prime & 0 & 0\\ 0 & a_{22}^\prime & 0 \\ 0 & 0 & a_{33}^\prime\end{bmatrix}$

Claudin escreveu:O método de Gauss Jordan que aprendi seria transformar em "pivôs", no caso a¹¹, a²² e o a³³, no caso esses 3 valores sendo igual a 1.

Aí sim, efetuar as operações elementares, para zerar as colunas e linhas.

Essa é uma das maneiras de se fazer. Mas isso provavelmente fará com que você precise trabalhar com frações durante toda a resolução do problema.

Note que eu também transformei os pivôs em 1, entretanto apenas no final do processo. Com isso, eu não precisei trabalhar com frações durante a resolução (o que economizou bastante tempo).

Em resumo, há duas estratégias igualmente válidas de se resolver:
(i) transformar os pivôs em 1 antes de zerar os outros valores;
(ii) transformar os pivôs em 1 depois de zerar os outros valores.

Que estratégia você irá usar depende de sua escolha.