[logaritmo_fatorial] Como resolver a questão?

por **Joaozulu** » Sáb Fev 04, 2012 17:22

(16:55:22) Joaozulu: Não consigo concluir a seguinte questão: 27!=n.10^p.
(16:57:17) Joaozulu: Minha tentativa: 27.26!=n.10^p => 26!=10^p => log 26!=p ... Faz sentido?

por **Arkanus Darondra** » Sáb Fev 04, 2012 18:09

A questão possui enunciado? Se sim, coloque-o.
Somente assim poderemos ver se faz sentido o que você fez.

por **Joaozulu** » Seg Fev 06, 2012 22:26

(UNB-DF) Admita que 27!=n.10^p, em que n e p são números naturais e n não é múltiplo de 10. Calcule o valor de p.

por **LuizAquino** » Ter Fev 07, 2012 14:58

Joaozulu escreveu:(UNB-DF) Admita que 27!=n.10^p, em que n e p são números naturais e n não é múltiplo de 10. Calcule o valor de p.

Desenvolvendo a equação, temos que:

$27! = n\cdot 10^p$

$\frac{27!}{n} = 10^p$

$\log \frac{27!}{n} = \log 10^p$

$\log \frac{27!}{n} = p \log 10$

$p = \log \frac{27!}{n}$

Decompondo 27! em fatores primos, temos que

$27! = 2^{23} \cdot 3^{13} \cdot 5^6 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23$

Agora podemos reescrever como:

$27! = \left(2^6 \cdot 5^6\right) \cdot 2^{17} \cdot 3^{13} \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23$

$27! = \left(2 \cdot 5\right)^6 \cdot 2^{17} \cdot 3^{13} \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23$

$27! = 10^6 \cdot 2^{17} \cdot 3^{13} \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23$

Como p deve ser natural, o número $\frac{27!}{n}$ que aparece dentro do logaritmo (na base 10) deve ser uma potência de 10. Para que isso aconteça, devemos ter:

$n = 2^{17} \cdot 3^{13} \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23$

Note que sendo n esse valor, ele não será múltiplo de dez (o que obedece ao enunciado do exercício).

Ficamos então com:

$p = \log \frac{27!}{n} = \log 10^6 = 6$

Portanto, temos que p = 6.