Derivadas multifatores

por **Keleber** » Sex Fev 03, 2012 16:05

Eu gostaria de saber como se precessa uma derivada de varios produtos: Como esta:

(f(x)g(x)H(x)L(x))´.

Por exemplo: qual a derivada de:

x²x³x. ou também, já que é de praxe usar senos e cosenos: (sen(x)cos(x)tang(x))´ e outras mais que puderem exemplificar.

por **LuizAquino** » Sex Fev 03, 2012 21:37

Keleber escreveu:Eu gostaria de saber como se processa uma derivada de vários produtos: Como esta:

(f(x)g(x)H(x)L(x))´.

Basta ir agrupando em duas partes e aplicando a derivada do produto. Desse modo, você pode obter a relação desejada.

$[f(x)g(x)h(x)l(x)]^\prime = [f(x)g(x)]^\prime[h(x)l(x)] + [f(x)g(x)][h(x)l(x)]^\prime$

$=[f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x)][h(x)l(x)] + [f(x)g(x)][h^\prime(x)l(x) + h(x)l^\prime(x)]$

$= f^\prime(x)g(x)h(x)l(x) + f(x)g^\prime(x)h(x)l(x) + f(x)g(x)h^\prime(x)l(x) + f(x)g(x)h(x)l^\prime(x)$

Keleber escreveu:Por exemplo: qual a derivada de:

x²x³x. ou também, já que é de praxe usar senos e cosenos: (sen(x)cos(x)tang(x))´ e outras mais que puderem exemplificar.

Tente aplicar a ideia que ilustrei acima.

por **ant_dii** » Sex Fev 03, 2012 21:42

Vamos estudar o caso de três funções, depois você poderá estender.

Supondo todas contínuas e deriváveis, vamos considerar que a multiplicação de duas funções é ainda uma função, ou seja, que $g(x)\cdot h(x)=(g\cdot h)(x)$ .

Agora, (preste atenção aos passos) temos

$(f\cdot g \cdot h)'=[f\cdot(gh)]'=f'(gh)+f(gh)'=f'gh+f(g'h+gh')=f'gh+fg'h+fgh'$

Apartir daí é possível generalizar...

por **ant_dii** » Sex Fev 03, 2012 21:43

Mil desculpas Luiz, não vi que já havia respondido...

por **LuizAquino** » Sex Fev 03, 2012 21:49

ant_dii escreveu:Mil desculpas Luiz, não vi que já havia respondido...

Sem problema!

por **Keleber** » Sáb Fev 04, 2012 11:29

Muito bom todas as respostas e exemplificações.

Eu vou tentar generalizar para equações do tipo: (x²2x/x³x²)´. Acredito que o método seja o mesmo. Também, generalizar para outros operadores seja bastante útil.

Como por exemplo: operadores cujo o produto não seja o produto dos operadores.

Obrigado e até a próxima.