[Limites] analisando os métodos

por **Ana_Rodrigues** » Qui Fev 02, 2012 18:20

A questão pede pra encontrar um número $\delta$ tal que:

Se $\left|x-\frac{\pi}{4} \right|<\delta$

então $\left|tgx - 1 \right|<0,2$

Porque quando eu faço:

tgx -1<0,2

$x<{tg}^{-1}1,2$
x<50,194

Transformando o valor em graus para radianos temos:
x<0,876

$\left|0,876 -\frac{\pi}{4} \right|<0,0906$

A resposta está correta!

Mas quando eu faço:

tgx-1<0,2

$tg(x-\frac{\pi}{4})<0,2$
$\left|x-\frac{\pi}{4} \right|<{tg}^{-1}0,2$
$\left|x-\frac{\pi}{4} \right|<11,3$

Transformando de graus para radianos...

$\left|x-\frac{\pi}{4} \right|<0,197$

O resultado é incorreto!

Eu gostaria de saber por que? Não era pra dar o mesmo resultado que o primeiro método?

por **LuizAquino** » Qui Fev 02, 2012 18:58

Ana_Rodrigues escreveu: $\textrm{tg}\,x-1<0,2$

$\textrm{tg}\,\left(x-\frac{\pi}{4}\right)<0,2$

(...)

O resultado é incorreto!

Eu gostaria de saber por que? Não era pra dar o mesmo resultado que o primeiro método?

Ao executar esse passo você está cometendo o erro de achar que $\textrm{tg}\,(a-b)$ é igual a $\textrm{tg}\,a - \textrm{tg}\,b$ .

Exemplo

(i) $\textrm{tg}\,(60^\circ-30^\circ) = \textrm{tg}\, 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(ii) $\textrm{tg}\,60^\circ-\textrm{tg}\,30^\circ = \sqrt{3} -\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Note que $\textrm{tg}\,(60^\circ-30^\circ) \neq \textrm{tg}\,60^\circ-\textrm{tg}\,30^\circ$ .

Além disso, a resolução adequada seria a seguinte.

$|\textrm{tg}\,x - 1| < 0,2$

$-0,2 < \textrm{tg}\,x - 1 < 0,2$

$0,8 < \textrm{tg}\,x < 1,2$

$\textrm{tg}^{-1}\,0,8 < x < \textrm{tg}^{-1}\,1,2$

0,674 < x < 0,876

$0,674 -\frac{\pi}{4} < x - \frac{\pi}{4}< 0,876 - \frac{\pi}{4}$

$-0,1113 < x - \frac{\pi}{4} < 0,0906$

Reduzindo um pouco o intervalo (pois -0,1113 < -0,0906), ficamos com:

$-0,0906 < x - \frac{\pi}{4} < 0,0906$

$\left|x - \frac{\pi}{4}\right| < 0,0906$

Vale lembrar que isso é uma aproximação, já que todos os cálculos foram realizados com arredondamento.

por **Ana_Rodrigues** » Sex Fev 03, 2012 15:06

Obrigada!

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