[funções inversas]

por **Ana_Rodrigues** » Ter Jan 24, 2012 17:46

Eu não entendo essas transformações!

Por exemplo:

1) $cos(sen{}^{-1})=\sqrt[]{1-{x}^{2}}$

ou então:

2) $sen(tg{}^{-1}x)=\frac{x}{\sqrt[]{1+{x}^{2}}}$

Não entendo essas simplificações. Não sei como chegar aos resultados mostrados.

Peço a quem souber, que me ajude a entender!

por **LuizAquino** » Ter Jan 24, 2012 19:47

Ana_Rodrigues escreveu:1) $\cos(\textrm{sen}^{-1}\, x)=\sqrt[]{1-{x}^{2}}$

Você deve saber que:

$\cos^2 \theta + \textrm{sen}^2 \,\theta = 1$

Disso podemos concluir que:

$\cos \theta = \sqrt{1 - \textrm{sen}^2 \,\theta}$ (se $\theta$ for um ângulo do primeiro ou do quarto quadrante).

Considere agora o ângulo $\theta = \textrm{sen}^{-1} x$ . Suponha que ele seja do primeiro ou do quarto quadrante. Temos que:

$\cos (\textrm{sen}^{-1} x) = \sqrt{1 - \textrm{sen}^2 (\,\textrm{sen}^{-1} x)}$

Você deve saber que $\textrm{sen}^{-1}$ representa a função inversa do seno.

Além disso, você deve saber que se $f^{-1}$ é a função inversa de f, então é válida a propriedade $f\left(f^{-1}(x)\right) = x$ .

Por outro lado, você também deve saber que $\textrm{sen}^2 \, \theta = \left(\textrm{sen} \, \theta\right)\cdot \left(\textrm{sen} \, \theta\right) = \left(\textrm{sen} \, \theta\right)^2$ .

Usando essas informações, temos que:

$\cos (\textrm{sen}^{-1} x) = \sqrt{1 - \left[\textrm{sen} (\,\textrm{sen}^{-1} x)\right]^2} = \sqrt{1-x^2}$

Ana_Rodrigues escreveu:2) $\textrm{sen}\,(\textrm{tg}^{-1}\, x)=\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$

A ideia é parecida com a anterior.

Mas lembre-se que usando $\cos^2 \theta + \textrm{sen}^2 \,\theta = 1$ e $\textrm{tg}\, \theta = \frac{\textrm{sen}\, \theta}{\cos \theta}$ podemos obter que:

$\textrm{sen}\, \theta = \frac{\textrm{tg}\,\theta}{\sqrt{1+\textrm{tg}^2\,\theta}}$ (se $\theta$ for um ângulo do primeiro ou do terceiro quadrante).

por **Ana_Rodrigues** » Ter Jan 24, 2012 22:33

Muito obrigada! :-D

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