probabilidades

por **cris_leite** » Seg Jan 23, 2012 21:17

Gostaria de saber qual é a probabilidade de, numa equipa com seis elementos, 4 rapazes e 2 raparigas, ser escolhida uma equipa de dois elementos formada apenas por rapazes

por **Arkanus Darondra** » Seg Jan 23, 2012 21:43

cris_leite escreveu:Gostaria de saber qual é a probabilidade de, numa equipa com seis elementos, 4 rapazes e 2 raparigas, ser escolhida uma equipa de dois elementos formada apenas por rapazes

Olá cris. Seja bem vinda!
Adotando n(H) =

equipe composta por dois homens, n(T) =

número total de equipes, P(H) =

probabilidade desejada, temos:
$P(H) = \frac{N(H)}{N(T)}\Rightarrow P(E) = \frac{C_{4, 2}}{C_{6, 2}}$ $\Rightarrow P(E) = \frac{6}{15} \Rightarrow P(E) = \frac{2}{5} \Rightarrow P(E) = 0,4 =$ 40%

por **cris_leite** » Ter Jan 24, 2012 17:01

Então se eu calculasse desta forma:
P(sair o 1.º homem)= 4/6 e P(sair o 2.º homem)=3/5, logo a P(serem escolhidos dois homens)=(4/6)x(3/5)=12/30, estaria mal?

por **Arkanus Darondra** » Ter Jan 24, 2012 17:24

Também está correto! :y:

por **cris_leite** » Qua Jan 25, 2012 14:46

Mas o número de casos possíveis quando utilizo combinações de 6, 2 a 2 é 15 e o número de casos possíveis quando utilizo 4/6 x3/5 é 30, o que não é igual. Daí a minha dúvida se posso calcular a probabilidade das duas formas.

por **Arkanus Darondra** » Qua Jan 25, 2012 15:20

cris_leite escreveu:Mas o número de casos possíveis quando utilizo combinações de 6, 2 a 2 é 15 e o número de casos possíveis quando utilizo 4/6 x3/5 é 30, o que não é igual. Daí a minha dúvida se posso calcular a probabilidade das duas formas.

Isso ocorre porque são métodos diferentes.
Da maneira que eu fiz, você calcula a probabilidade como um todo.
No seu caso, a probabilidade de cada homem é calculada separadamente.
Além disso, basta simplificar que você chegará ao mesmo resultado ( $\frac{12}{30}=\frac{6}{15})$ . :y:

Vou dar dois exemplos:

Em uma equipe de com 42 elementos, 25 rapazes e 17 moças, qual a probabilidade de ser formada uma equipe composta por dois rapazes?
Do modo que eu fiz:
$P(H) = \frac{N(H)}{N(T)}\Rightarrow P(H) = \frac{C_{25, 2}}{C_{42, 2}}$ $\Rightarrow P(H) = \frac{300}{861} \Rightarrow P(H) \cong 0,35 =$ 35%
Do modo que você fez:
$P(H) = \frac{25}{42}.\frac{24}{41} \Rightarrow P(H) = \frac{600}{1722} \Rightarrow = \frac{300}{861} \Rightarrow P(H) \cong 0,35 =$ 35%

Em uma sala composta por 30 alunos, dentre os quais apenas 12 gostam de matemática, qual a probabilidade de um grupo formado por 3 alunos ser composto apenas por estudantes que gostam de matemática?
Do modo que eu fiz:
$P(M) = \frac{C_{12, 3}}{C_{30, 3}}\Rightarrow P(M) = \frac{220}{4060} \Rightarrow P(M) =\frac{11}{203} \Rightarrow P(M) \cong 0,55 =$ 55%
Do modo que você fez:
$P(M) = \frac{12}{30}.\frac{11}{29}.\frac{10}{28} \Rightarrow P(M) = \frac{1320}{24360} \Rightarrow \frac{220}{4060} \Rightarrow P(M) =\frac{11}{203} \Rightarrow P(M) \cong$ 55%

por **cris_leite** » Sáb Jan 28, 2012 16:50

Probabilidades.
Em relação ao problema anterior sobre uma comissão formada por 6 pessoas, 4 rapazes e 2 raparigas, sendo a probabiliade de serem escolhidos apenas 2 rapazes para representantes ser 6/ 15, porque usamos combinações, tenho colegas que são matemáticas que dizem que é diferente se dissermos que é 12/30. Por exemplo no problemas de tirar duas bolas, sucessivamente e sem reposição, aqui a probabilidade é 12/30 porque utilizamos arranjos enquanto que no primeiro problema utilizamos combinações e por isso só temos metade de casos possíveis.
gostaria que me esclerecessem melhor porque para mim os dois problemas resolvem-se das mesma maneira.

por **fraol** » Sáb Jan 28, 2012 23:51

cris_leite e Arkanus Darondra,

Como se trata de um forum democrático, vou postar aqui meu entendimento sobre esse caso, a saber:

Como probabilidade é um número então $\frac{6}{15} = \frac{12}{30} = ...$ , e aqui não há o que discutir.

No caso da solução usando combinação não se contou as repetições, na outra usando arranjo contou-se em duplicidade tantos os casos desejados ( exatamente 2 rapazes na comissão ) quanto o total de comissões de2 pessoas entre 6 possíveis.

Vejam se vocês concordam: chamemos um rapaz de Cristiano e outro de Ronaldo.

Então na solução usando arranjo considerou-se a equipe {Cristiano, Ronaldo} distinta de {Ronaldo, Cristiano} e contou-se em duplicidade, como não foi definida uma hierarquia ou coisa que a valha, sabemos que trata-se de um conjunto apenas. Essa mesma duplicidade ocorreu, implicitamente, para o total de equipes.

Já na solução usando combinações as equipes {Cristiano, Ronaldo} e {Ronaldo, Cristiano} foram contadas como sendo uma só.

( Se fossem equipes com n rapazes entre p pessoas, teríamos uma "

- plicidade " a ser descontada - mas isso já é outra conversa...)

Se não concordarem, por favor, mandem a discordância pra gente continuar a discussão.

por **cris_leite** » Dom Jan 29, 2012 10:06

Probabilidades e problema de bolas sem reposição
Em relação ao problema com rapazes já percebi que numa contam-se todos os pares de rapazes e noutra não. A questão é se se pode fazer isso.
Agora a minha grande dúvida é, por exemplo, se num saco houver 6 bolas, 4 pretas e 2 brancas, e se se tirarem duas bolas sucessivamente e sem reposição, porque é que a ordem conta? Ou seja tirar bola preta 1, bola preta 2, não é o mesmo que tirar bola preta 2, bola preta 1? O raciocínio não é igual ao problema com os rapazes?

por **fraol** » Dom Jan 29, 2012 12:41

O problema ao usar a expressão "sucessivamente e sem reposição" já deixa implícito que a ordem é relevante, caso contrário poderiam ter sido usadas expressões como "simultaneamente" e "com reposição".

Mas creio que deva-se considerar que uma coisa é uma coisa e outra coisa é outra coisa, isto é, contagem é uma coisa e probabilidade é outra.

Nesse caso das 4 bolas Pretas e das 2 bolas Brancas retiradas sucessivamente e sem reposição seria melhor não tentar classificar em Arranjo, Combinação, etc. para daí usar uma fórmula para resolver.

Conte os casos:

Retirar uma 1a. primeira Bola Preta sem repor = 4 casos.
Retirar uma 2a. segunda Bola Preta sem repor = 3 casos (pois agora só temos 3 bolas pretas no local).
Daí sai o total de casos.

Ah! mas e qual é a probabilidade dessa sequência ocorrer: contamos todos os casos possíveis e fazemos as contas, certo?

Esses casos de contagem são um tanto capciosos e nos requerem muita atenção, é fácil a gente se complicar...