Calcule sen, cos e cotg

por **andersontricordiano** » Qua Jan 18, 2012 21:44

a) Calcule $sen\theta$ , $cos\theta$ e $cotg\theta$ , sabendo que $tg\theta=\frac{a}{b}$

b)Suponha o caso particular em que a=0 e , fazendo as adaptações necessárias na resposta do item (a) verifique a coerência de tal resposta.

Respostas:

a)
$sen\theta=+-\frac{a\sqrt[]{{a}^{2}+{b}^{2}}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$

$sen\theta=+-\frac{b\sqrt[]{{a}^{2}+{b}^{2}}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$

$cotg\theta=\frac{b}{a}$

b)
$a=0\Rightarrow \begin{pmatrix} sen\theta & =0 \\ cos\theta & +-1 \end{pmatrix} \Rightarrow\theta=\kappa\pi, \kappa\inZ$

por **ant_dii** » Qui Jan 19, 2012 01:55

Na verdade temos
$\tan\theta=\frac{a}{b} \Rightarrow \frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{a}{b} \Rightarrow \frac{\sin\theta}{\pm \sqrt{1-\sin^2\theta}}=\frac{a}{b} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \sin\theta = \frac{a}{b}\cdot (\pm \sqrt{1-\sin^2\theta}) \Rightarrow \sin^2\theta = \frac{a^2}{b^2} (1-\sin^2\theta}) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \sin^2\theta = \frac{a^2}{b^2}- \frac{a^2}{b^2}\sin^2\theta} \Rightarrow \sin^2\theta + \frac{a^2}{b^2}\sin^2\theta} = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \sin^2\theta \left(1+\frac{a^2}{b^2}\right) = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow \sin^2\theta\left(\frac{a^2+b^2}{b^2}\right) = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \sin^2\theta = \frac{a^2}{b^2}\cdot \left(\frac{b^2}{a^2+b^2}\right) \Rightarrow \sin\theta = \pm \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \Rightarrow \sin\theta = \pm \frac{a\sqrt{a^2+b^2}}{a^2+b^2}$

E como $\sin^2\theta = 1- \cos^2\theta$ , temos

$\sin^2\theta = \frac{a^2}{b^2}\cdot \left(\frac{b^2}{a^2+b^2}\right) \Rightarrow 1- \cos^2\theta= \frac{a^2}{a^2+b^2} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow -\cos^2\theta= \frac{a^2}{a^2+b^2} - 1 \Rightarrow -\cos^2\theta= \frac{a^2}{a^2+b^2} - \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow -\cos^2\theta= \frac{-b^2}{a^2+b^2} \Rightarrow \cos^2\theta= \frac{b^2}{a^2+b^2} \Rightarrow \cos\theta= \pm \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \cos\theta= \pm \frac{b\sqrt{a^2+b^2}}{a^2+b^2}$ .

Como $\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta} \quad \mbox{onde} \quad \cot \theta= cotan\, \theta$ , então

$\tan\theta=\frac{a}{b} \Rightarrow \frac{1}{\tan\theta}=\frac{1}{\frac{a}{b}} \Rightarrow \frac{1}{\tan\theta}=\frac{b}{a} \Rightarrow \cot \theta = \frac{b}{a}$ .

Quanto a questão b), teremos
$\sin\theta=0 \Rightarrow \theta = k\pi\mbox{, onde}\quad k \in \mathbb{Z}$
$\cos\theta=\pm 1 \Rightarrow \theta = k\pi\mbox{, onde}\quad k \in \mathbb{Z}$

Mas para o caso de que $\cot \theta = \frac{b}{a}$ , tem-se que usar outro recurso, o limite de uma função pois

não pode ser zero...

Logo, suas respostas estavam todas corretas e só não entendi qual era a dúvida então...

Calcule sen, cos e cotg

Calcule sen, cos e cotg

Calcule sen, cos e cotg

Re: Calcule sen, cos e cotg

Quem está online