Funcoes exponenciais

por **Petrincha** » Dom Jan 15, 2012 19:51

E o seguinte, vou ter ficha amanha, e provavelmente ate nem pode sair este tipo de exercicios, mas gostava de saber como resolver este problema. Ja tentei de varias maneiras, a soluçao ate pode ser simples, mas o resultado esta-me sempre a dar 0,15..... . :s

Aqui esta o problema:

A mae da Joana cozinhou no forno um frango do campo para o jantar. Sabe-se que a temperatura do granco, T, em graus Celsius, t minutos após ter sido retirado do forno é dada por:

$T(t)= 21+199{e}^{-0.084t}$

Quanto tempo decorre entre o instante em que o frango é retirado do forno e instante que a sua temperatiura é de 50ºC?

A solução é 22 minutos e 56 segundos, ainda não percebi como se chega para esse resultado :S

por **MarceloFantini** » Dom Jan 15, 2012 20:19

Mostre o seu desenvolvimento para que possamos encontrar o seu erro.

por **fraol** » Dom Jan 15, 2012 20:21

Mostra como você fez.
( a solução 22,... minutos está correta ).

por **Petrincha** » Dom Jan 15, 2012 20:28

Eu fiz assim:

$T(t)= 21+199{e}^{-0.084t} = 50 = 199{e}^{-0.084t} = 50-21 = {e}^{-0.084t} = 29/199 = {1/e}^{0.084t} = 0,15 = 0,92t = 0,15 = t = 0,15/0,92 = t = 0,16$

arredondei todos os valores as centesimas.

Eu devo estar a fazer alguma coisa mal com a passagem dos numeros para o 2 membro, nao sei :s

por **MarceloFantini** » Dom Jan 15, 2012 20:34

Você errou aqui:

$e^{-0.084t} = \frac{29}{199} \implies 0.92t = 0.15$

Isso não é verdade. O que acontece é:

$e^{-0.084t} = \frac{29}{199} \implies -0.084t = \ln \left( \frac{29}{199} \right)$

Agora termine.

por **Petrincha** » Dom Jan 15, 2012 20:42

o ln significa o que? e que eu acho que nunca fiz este tipo de exercicios com a minha stora, portanto nao sei o que quer dizer

por **MarceloFantini** » Dom Jan 15, 2012 20:47

Logaritmo natural, em outras palavras significa o logaritmo quando a base é o número "e".

por **joaofonseca** » Dom Jan 15, 2012 20:50

Petrincha, ln significa logaritmo de base natural,

.Ou seja $log_{e}$ .

Só uma pequena observação em relação às aproximações.Sou da opinião que as aproximações intermédias não devem existir, ou quando existirem devem ser feitas a 3 ou 4 casas decimais.O problema que colocas-te,eu obtive 22,93 como resultado.Do ponto de vista académico pode ser menos importante, mas para quem trabalha em engenharia ou economia os 0,93 podem fazer a diferença.