[derivada trignométrica]

por **Jorge Dias** » Seg Jan 09, 2012 15:45

f(u,v,W) $\frac{cos(u-V)-1}{1-sin(u+W)}$
calcular as primeiras derivadas e o seu gradiente,encontrar um ponto onde f se anule ou não.
vou considerar cos(u-v) como um todo e é cos (x) ou vou ter que dizer que cos(u-v)= cosu.cosv+sinu.sinv e tambem não sei o que faço com o -1.
E no denominador tenho de fazer o mesmo? colocar as equivalências trignométricas ou não? faço a derivação do quociente directamente, mas novamente tenho de achar as 3 derivadas de cada vez,não consigo encontrar nada que me explique isso em condições estou feito.

por **fraol** » Seg Jan 09, 2012 17:20

Boa tarde,

Antes de mais nada lembre-se que é a derivada de um quociente, então aplicar a dita regra (derivada do quociente entre duas funções) para cada uma das derivadas parciais em u, V e W.

Além da identidade cos(u-V) = cos(u)cos(V) + sen(u)sen(V)

, você vai precisar também de sen(u + W) = sen(u)cos(W) + sen(W)cos(u)

.

O resto é manipulação algébrica.

Quer tentar?

por **LuizAquino** » Seg Jan 09, 2012 18:32

Não precisa aplicar as identidades trigonométricas.

Basta usar a regra da cadeia.

Por exemplo, suponha que você tivesse apenas a função $f(x,\, y) = \cos (x - y)$ .

Para derivar em relação a x, imagine que a função fosse $g(x) = \cos (x - y)$ (isto é, depende apenas de x).

Desse modo, temos que

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d g}{d x} = \left[-\textrm{sen}\,(x-y) \right] \cdot \frac{d}{d x}(x-y) = \left[-\textrm{sen}\,(x-y) \right] \cdot 1 = -\textrm{sen}\,(x-y)$

Por outro lado, para derivar em relação a y, imagine que a função fosse $g(y) = \cos (x - y)$ (isto é, depende apenas de y).

Desse modo, temos que

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d g}{d y} = \left[-\textrm{sen}\,(x-y) \right] \cdot \frac{d}{d y}(x-y) = \left[-\textrm{sen}\,(x-y) \right] \cdot (-1) = \textrm{sen}\,(x-y)$

Agora basta aplicar essa ideia. Mas lembre-se que, como fraol disse, você precisa aplicar também a regra do quociente para derivar a função de seu exercício.

Observação

Se você desejar revisar a regra da cadeia, então eu recomendo que você assista a vídeo-aula "13. Cálculo I - Regra da Cadeia" disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino