limite com derivada

por **giboia90** » Qui Jan 05, 2012 01:50

Expresse o limite abaixo como uma derivada, e então calcule o limite.
$\lim_{x\to2}\frac{{(1+{x}^{2})}^{3}-125}{x-2}$

No resultado apresenta f(x)= ${(1+{x}^{2})}^{3}$ e a derivada ( f '(2) = 300 ). Gostaria de saber como foi possivel obter esses resultados. passo a passo.
obrigado

por **LuizAquino** » Qui Jan 05, 2012 10:30

giboia90 escreveu:Expresse o limite abaixo como uma derivada, e então calcule o limite.
$\lim_{x\to 2}\frac{{(1+{x}^{2})}^{3}-125}{x-2}$

giboia90 escreveu:No resultado apresenta $f(x)= \left(1+{x}^{2}\right)^{3}$ e a derivada ( f'(2) = 300 ). Gostaria de saber como foi possivel obter esses resultados. passo a passo.

Por definição, a derivada de uma função f no ponto x=a (quando existe) é dada por:

$f^\prime(a) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Comparando a definição com o limite dado no exercício, você deve perceber que trata-se do cálculo de f'(2), sendo que $f(x)= \left(1+{x}^{2}\right)^{3}$ .

Agora para calcular o limite, comece usando o produto notável $a^3 - b^3 = (a-b)\left(a^2 + ab + b^2\right)$ .

$\lim_{x\to 2}\frac{{(1+{x}^{2})}^{3}-125}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{{(1+{x}^{2})}^{3}-5^3}{x-2}$

$= \lim_{x\to 2}\frac{\left(x^2 - 4\right)\left[\left(1+x^2\right)^2 + 5\left(1+x^2\right) + 25\right]}{x-2}$

Agora tente terminar o exercício usando o produto notável a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

.

por **giboia90** » Qui Jan 05, 2012 10:59

ea derivada que resulta apos o calculo em que f'(2)= 300

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