[Derivada-gráficos]me ajudem

por **bernardo1744** » Seg Nov 28, 2011 19:34

boa tarde pessoal. eu queria muito tirar uma dúvida sobre uma questão de prova . na minha prova foi dada a seguinte função [CÁLCULO 1] ache F(x)= e^(x^2-1) , e estava pedindo pra achar as assíntotas , os pontos críticos e os pontos de inflexão. me ajudem por favor. desde já grato ^^

por **LuizAquino** » Seg Nov 28, 2011 20:18

bernardo1744 escreveu:boa tarde pessoal. eu queria muito tirar uma dúvida sobre uma questão de prova . na minha prova foi dada a seguinte função [CÁLCULO 1] ache F(x)= e^(x^2-1) , e estava pedindo pra achar as assíntotas , os pontos críticos e os pontos de inflexão. me ajudem por favor. desde já grato ^^

Quais foram as suas tentativas?

Por favor, informe onde está exatamente a sua dúvida.

por **bernardo1744** » Seg Nov 28, 2011 20:20

minha dúvida é q eu não sei achar assintota em função desse tipo e a do ponto de inflexão eu queria ver qnto que dava sabe

por **LuizAquino** » Ter Nov 29, 2011 10:16

bernardo1744 escreveu:minha dúvida é q eu não sei achar assintota em função desse tipo e a do ponto de inflexão eu queria ver qnto que dava sabe

A função $f(x) = e^{x^2 - 1}$ não tem assíntotas. Para uma explicação sobre assíntotas, vide o tópico:

assintota
viewtopic.php?f=120&t=6002

Quanto aos pontos de inflexão, é necessário estudar o sinal da segunda derivada de f.

Calculando as derivadas, temos que:

$f^\prime (x) = 2xe^{x^2 - 1} \Rightarrow f^{\prime\prime}(x) = 2e^{x^2 - 1} + 4x^2e^{x^2 - 1} \Rightarrow f^{\prime\prime}(x) = \left(2 + 4x^2\right)e^{x^2 - 1}$

Note que tanto o termo

quanto o termo $e^{x^2 - 1}$ são sempre positivos e não nulos. Portanto, temos que $f^{\prime\prime}(x) > 0$ para todo x no domínio de $f^{\prime\prime}$ . Logo, o gráfico de f não tem ponto de inflexão e sua concavidade é sempre para cima.

A figura abaixo ilustra o gráfico de f.

: gráfico.png (6.78 KiB) Exibido 1314 vezes

Observação

Analisando a primeira derivada de f, temos que x = 0 é um ponto crítico.

Além disso, para x < 0 temos $f^\prime(x) < 0$ (ou seja, f decresce no intervalo $(-\infty,\,0)$ ).

Por outro lado, para x > 0 temos $f^\prime(x) > 0$ (ou seja, f cresce no intervalo $(0,\,+\infty)$ ).

Observando o gráfico da função f ilustrado acima, note como essas informações são confirmadas.

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