[Geometria Espacial + PG] Prismas

[mayrahusein]

Olá, sou nova por aqui e ando tendo muitas dúvidas com relação a geometria espacial. Tenho uma prova no dia 21/10 em que vai cair Progressão Geométrica, Prismas e Pirâmides, e eu não estou conseguindo resolver os exercícios. A primeira dúvida que quero enviar é de uma questão que envolve Prismas e Progressão Geométrica:

As medidas das três dimensões de um paralelepípedo retângulo estão em P.G. Sabendo que a área total e o volume deste paralelepípedo são, respectivamente, 112 cm² e 64 cm³, calcule as medidas das suas dimensões.

A resposta do gabarito é (2cm, 4 cm e 8cm), mas não consigo chegar nela!
Meus cálculos até agora:

a = xq
b = x
c = x/q

St = 2S1 + 2S2 + 2S3 V = Sb . h
St = 2(xq . x) + 2(x/q . x) + 2(x/q . xq) V = xq . x . x/q
St = 2x²q + 2x²/q + 2x² V = x³
112 = 2x²q + 2x²/q + 2x²
[112 = 2x²(q + 1/q + 1)] (:2)
56 = x²(q + 1/q + 1)

A partir daí dá tudo errado e não sei como continuar! Em que eu estou errando?

[Caroline Piccoli]

Adorei esse problema!!! Muito legal mesmo!!!
Minha resolução:

At= 112 cm²
V= 64 cm³

a1=xq= c
a2= x= l
a3= x/q= h

Descobrindo o valor de x pela fórmula do volume.

V= c.l.h
V= xq.x.x/q
V= x³
64=x³
x=4

Substituindo o valor de x na equação da area total (at)

at= 2xq.x/q + 2.x.x/q+ 2.x.xq
at= 2x²+ 2x²/q + 2x²q
112= 32 + 32/q+ 32q
80= 32/q+32q²/q
80q= 32+32q²
32q² - 80q+32=0

Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos como raízes: q1=2 e q2= 1/2

Substituindo o valor de x e os valores de q encontrados, temos:

a1=c= xq1= 4.2=8 ou a1=c=xq2= 4.1/2=2
a2=l= x= 4
a3= h= x/q1= 4/2=2 ou a3=h= x/q2= 4/1/2= 8

Portanto as dimensões são: 2cm, 4 cm e 8 cm.