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por plugpc » Qua Mai 13, 2009 19:21
Para construir uma caixa em forma de paralelepípedo reto será usada uma folha de chumbo em forma retangular 28cm de comprimento por 24cm de largura. Um quadrado de lado xcm, será cortado em cada canto da folha e a parte tracejada será dobrada formando uma caixa. Com base nesses dados pode-se afirmar que o valor de x para que se tenha a máxima área lateral da caixa, deve ser igual a
a) 4,5
b) 5,5
c) 6,5
d) 7,5
e) 8,5
Tentei resolver esse problema mas só consegui encontrar a fórmula do volume que essa explícita aqui.
v(x) = (28-2x)(24-2x)x
e ainda faltou como descobrir a área. Se existir uma maneira mais fácil de resolver esse tipo de problema gostaria de uma bem básica pois há vários outros que eu ainda não consigo resolver.
Profº já mandei esse problema pra vários outros amigos aqui na internet e ainda nenhum me respondeu se possível o responda por favor. Detalhadamente pois pretendo aprender esse tipo de problema o senhor me ajudará muito...
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plugpc
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- Formação Escolar: ENSINO MÉDIO PROFISSIONALIZANTE
- Área/Curso: matemática
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por admin » Qui Mai 14, 2009 19:17
Olá
plugpc!
Este é um problema de otimização.
Mas, no primeiro passo, não pense em derivada.
Siga os passos da construção como deve ter feito para concluir sobre a expressão do volume.
Embora, não utilizaremos o volume: concentre-se na área.
Se você obteve a expressão do volume é porque já conseguiu identificar as medidas das arestas e montar a figura, isso é bom.
Note que o problema cita
área lateral. Não confunda com área total da superfície.
Como você já possui as medidas das arestas, escreva
a expressão da
área lateral.
Repare que a
área lateral também é uma função de
.
Agora, para entender a resolução deste problema e outros semelhantes de otimização, pergunte-se:
Qual o "tipo" desta função? Qual a sua "família"? Consigo esboçar o gráfico dela?
É importante que você reflita sobre estas perguntas e encontre respostas!
Você deverá obter que a
área lateral é representada por:
Pois bem: você verá que a
função área lateral está representada por uma expressão de segundo grau, cujo gráfico é de uma parábola!
Também podemos escrevê-la assim:
Ou ainda:
O segundo passo é refazer a pergunta do problema, olhando para o gráfico!
Pergunte-se: quando esta área é máxima? Para qual valor de
?
A pergunta é bem pertinente, uma vez que a parábola é côncava para baixo e possui um valor máximo!
O terceiro passo é, somente agora, se preocupar com o conceito de derivada.
Pensar em derivada como o
coeficiente angular da reta tangente à curva!
Acredite, você precisa "enxergar" as infinitas retas tangentes, "navegando", tangenciando a curva: a parábola!
Ao mesmo tempo em que pensa no coeficiente angular, o ângulo de inclinação de cada reta tangente!
Pois bem, pergunto:
Qual a inclinação da reta tangente no ponto máximo da parábola?
Resposta: ela é paralela ao eixo
, portanto, inclinação zero.
Novamente, conceito de derivada: derivada é o coeficiente angular da reta tangente no ponto!
É daqui que concluímos então que: quando a derivada da
função área lateral for nula, teremos o ponto máximo procurado.
Após entendidas estas etapas, o término do problema é simples.
Calculamos a derivada:
E apenas escrevemos a pergunta: quando a derivada é nula?
Qual o valor de
quando
?
Espero ter ajudado no entendimento.
Bons estudos!
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admin
- Colaborador Administrador - Professor
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- Andamento: formado
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Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
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Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42
Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois
2°) Admitamos que
, seja verdadeira:
(hipótese da indução)
e provemos que
Temos: (Nessa parte)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55
Boa noite Fontelles.
Não sei se você está familiarizado com o
Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.
Ele dá uma equação, no caso:
E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:
Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que
seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para
.
Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.
Espero ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28
Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32
Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25
Boa tarde Fontelles!
Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.
O que temos que provar é isso:
, certo? O autor começou do primeiro membro:
Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:
Que é outra verdade. Agora, com certeza:
Agora, como
é
a
, e este por sua vez é sempre
que
, logo:
Inclusive, nunca é igual, sempre maior.
Espero (dessa vez) ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39
Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37
c.q.d. = como queriamos demonstrar =)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33
Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05
Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04
MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa.
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