Vetores

por **Claudin** » Ter Nov 01, 2011 13:23

Sejam dois planos: x-y+2=0 e x+y+z=0

a)Determine equações paramétricas para a reta r interseção dos planos PI1 e PI2.

Achei os vetores normais do plano PI1 e PI2, são eles N1= (1, -1, 0) e N2= (1, 1, 1)

Depois fiz o produto vetorial de ambos para encontrar o vetor diretor

cheguei em (-i, -j, 2k)

Fiz um sistema

x-y+2=0
x+y+z=0

Atribui y=0

e encontrei o ponto P= (-1, 0, 1)

Eq. Paramétricas
x= -1-t
y= -t
z= 1+2t

b)Encontre uma equação geral do plano PI que é ortogonal a reta r e que passa pelo ponto P= (3, 5, 4)

Não consegui resolver a letra b

por **LuizAquino** » Dom Nov 06, 2011 16:04

Claudin escreveu:Sejam dois planos: x-y+2=0 e x+y+z=0

a)Determine equações paramétricas para a reta r interseção dos planos PI1 e PI2.

Achei os vetores normais do plano PI1 e PI2, são eles N1= (1, -1, 0) e N2= (1, 1, 1)

Ok.

Claudin escreveu:Depois fiz o produto vetorial de ambos para encontrar o vetor diretor

cheguei em (-i, -j, 2k)

Ok.

Claudin escreveu:Fiz um sistema

x-y+2=0
x+y+z=0

Atribui y=0

e encontrei o ponto P= (-1, 0, 1)

Errado. Note que para y = 0 o ponto encontrado seria P = (-2, 0, 2).

Claudin escreveu:Eq. Paramétricas
x= -1-t
y= -t
z= 1+2t

Errado. As equações nesse caso seriam:

$\begin{cases} x = -2 - t \\ y = - t \\ z = 2 + 2t \end{cases}$

Claudin escreveu:b)Encontre uma equação geral do plano PI que é ortogonal a reta r e que passa pelo ponto P= (3, 5, 4)

Não consegui resolver a letra b

Se esse plano é ortogonal a reta, então o vetor normal do plano é paralelo ao vetor diretor da reta. Em particular, fazendo $\vec{n} = 1\cdot \vec{d}$ , podemos tomar o vetor normal $\vec{n}$ como sendo igual ao vetor diretor $\vec{d}$ .

Portanto, a equação do plano será:

$(- 1)\cdot(x-3) + (- 1)\cdot (y-5) + 2\cdot (z-4) = 0$

-x - y + 2z = 0

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