[Cálculo II] Regra da cadeia

por **carlosmarinio** » Qui Nov 03, 2011 15:15

Boa tarde,

alguém poderia me ajudar a resolver tal exercício?

Determine uma família de funções que verifique a equação : x. df/dx + y df/dy = o

Exercício retirado do livro Guidorizzi de cálculo II - pág 226 // regra dacadeia

Obrigado.

por **joaofonseca** » Qui Nov 03, 2011 20:14

A notação que utilizas-te não foi muito explicita.
Vou deduzir que te estar a limitar à diferenciação explicita e que a notação que utilizas-te corresponde á seguinte:

$\frac{d_{y}}{d_{x}}=\frac{d_{y}}{d_{u}} \cdot \frac{d_{u}}{d_{x}}$

Ou seja:

$(f \circ u)'(x)=f'(u(x)).u'(x)$

Para que a expressão anterior seja zero é necessário que $f'(u(x))=0 \vee u'(x)=0$ .
Para u'(x)=0

basta que u(x) seja uma função contante, já que a derivada de uma constante é zero.Mas se u(x) for uma constante já não estamos perante uma função composta. Na pratica estariamos a calcular a derivada de f(x) num ponto da função f (declive da reta tangente).

por **LuizAquino** » Dom Nov 06, 2011 20:44

carlosmarinio escreveu:Determine uma família de funções que verifique a equação : x. df/dx + y df/dy = 0

Exercício retirado do livro Guidorizzi de cálculo II - pág 226 // regra dacadeia

Na terceira edição desse livro, esse exercício está na página 227. Além disso, os exercícios anteriores a ele que tratam sobre funções homogêneas podem lhe dar uma pista de como resolvê-lo.

Para resolver o exercício, basta tomar qualquer função $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que f seja homogênea de grau 0.

Por exemplo, note que qualquer função do tipo $f(x,\,y) = \frac{x^n}{y^n}$ verifica a equação dada.

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