( Regra da Cadeia ) - Cálculo II

por **Marimar** » Qui Nov 03, 2011 14:38

Oi pessoal,

Vou tentar explicar o que eu tentei fazer no seguinte exercício, e queria que alguém pudesse me ajudar a concluí-lo.

Admita que, para todo (x,y)

4y. df/dx (x,y) - x df/dy(x,y) = 2

Calcule g' (t), sendo g(t) = f( 2cost, sent).

Chamei x= 2cost y= sent

peguei a equação e integrei 4y e x e deu a seqguinte equação: x^2/2 + 2y^2 = 2
tentei fazer algumas substituições mas nada deu certo, acabei chegando a lugar algum.

se possível, ajudem. Obrigada.

por **Igor Mirandola** » Sex Nov 04, 2011 00:55

Vou supor que f eh uma função de R² em R, isso deveria ficar claro no enunciado...
vou supor ainda que (x,y) leva a f(x,y)...

Admitindo que, para todo (x,y)
4y. df/dx (x,y) - x df/dy(x,y) = 2

Calcule g' (t), sendo g(t) = f( 2cost, sent).
Agora observe que g(t) é uma função R em R, onde para todo t leva-se ao valor g(t), pela lei g(t) = f(2cost, sent), g eh uma composta!
Existe uma função h(t) intermediária, tal que para cada valor de t, eh associado a um h(t) = ( 2cost, sent)
Dessa forma, minha g(t) nada mais é do que uma f(h(t)).
Nesta função x = x(t) e y = y(t)

Acredito que a regra da cadeira será dada por:
dg/dt = df/dx dx/dt + df/dx dy/dt
Podemos determinar dx/dt = d(2cos(t))/dt = - 2 sen(t)
Podemos determinar dy/dt = d(sent)/dt = cos(t)

Assim,
dg/dt = -2 sent df/dx + cost df/dy
Também vamos lembrar que temos por hipotese que 4y. df/dx (x,y) - x df/dy(x,y) = 2

Mas não consigo unir as duas equações!!!
Falta algum dado?

por **LuizAquino** » Dom Nov 06, 2011 12:32

Igor Mirandola escreveu:Assim,
dg/dt = -2 sent df/dx + cost df/dy
Também vamos lembrar que temos por hipotese que 4y. df/dx (x,y) - x df/dy(x,y) = 2

Note que se $x=2\cos t$ e $y = \textrm{sen}\,t$ , então:

$4y\frac{df(x,\,y)}{dx} - x\frac{df(x,\,y)}{dy} = 2 \Rightarrow 4 \,\textrm{sen}\,t\frac{df(x,\,y)}{dx} - 2\cos t\frac{df(x,\,y)}{dy} = 2$

Dividindo esta última equação por -2, note que:

$\left(4 \,\textrm{sen}\,t\frac{df(x,\,y)}{dx} - 2\cos t\frac{df(x,\,y)}{dy} = 2 \right) : (-2) \Rightarrow$ $-2 \,\textrm{sen}\,t\frac{df(x,\,y)}{dx} + \cos t\frac{df(x,\,y)}{dy} = -1$

Portanto, podemos concluir que:

$-2 \,\textrm{sen}\,t\frac{df(x,\,y)}{dx} + \cos t\frac{df(x,\,y)}{dy} = -1 \Rightarrow \frac{dg}{dt} = -1$

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