[calculo] limite

por **beel** » Dom Out 30, 2011 21:07

$\lim_{x\rightarrow\infty} (1 + \frac{1}{x})^x$

como resolver? tentei por L'Hospital e derivei uma vez mas não esta dando certo

por **Aliocha Karamazov** » Seg Out 31, 2011 13:26

Esse limite não é calculado como os outros. Pode-se demonstrar que $\lim_{x\rightarrow\infty}\left (1 + \frac{1}{x}\right)^x=e$

Esse é o número de Euler. A demonstração, basicamente, mostra que a seguência $a_{n}=\left (1 + \frac{1}{n}\right)^n$ é limitada e estritamente crescente. Logo, ela converge. O número para o qual ela converge é o número de Euler e.

Depois, demonstra-se que $\lim_{x\rightarrow\infty}\left (1 + \frac{1}{x}\right)^x$ também existe e é igual a e. Ou seja, o limite da função f(x)

é igual ao limite da sequência $a_{n}$ .

por **LuizAquino** » Seg Out 31, 2011 15:49

Aliocha Karamazov escreveu:Esse limite não é calculado como os outros.

Uma vez provada a Regra de L'Hospital, podemos usá-la para calcular esse limite.

beel escreveu:como resolver? tentei por L'Hospital e derivei uma vez mas não esta dando certo

Note que para x>0

temos que $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x > 0$ .

Vamos chamar de L o resultado de $\lim_{x\to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ . Pelo que expliquei acima, devemos ter L > 0

.

Podemos então escrever que:

$L = \lim_{x\to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x$

$\ln L = \ln \lim_{x\to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x$

Vale destacar que apenas podemos aplicar o logaritmo natural em ambos os membros, pois já sabemos que eles são números positivos e não nulos.

Continuando a resolução, como a função logaritmo natural é contínua em todos os pontos de seu domínio, ela pode nesse caso "entrar" no limite.

$\ln L = \lim_{x\to \infty} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)^x$

$\ln L = \lim_{x\to \infty} x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$

$\ln L = \lim_{x\to \infty} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}$

Esse limite é uma indeterminação do tipo 0/0. Aplicando a Regra de L'Hospital, temos que:

$\ln L = \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}}$

$\ln L = \lim_{x\to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x}}$

$\ln L = \frac{1}{1+0}$

$\ln L = 1$

L = e

por **Aliocha Karamazov** » Seg Out 31, 2011 17:37

LuizAquino escreveu:
Aliocha Karamazov escreveu:Esse limite não é calculado como os outros.

Uma vez provada a Regra de L'Hospital, podemos usá-la para calcular esse limite.

Eu só achei que seria estranho utilizar o logaritmo na base e para calcular e sem nem ter definido esse número.

por **LuizAquino** » Seg Out 31, 2011 18:09

Aliocha Karamazov escreveu:Eu só achei que seria estranho utilizar o logaritmo na base e para calcular e sem nem ter definido esse número.

Quando definimos a função logaritmo natural nós já fazemos a definição do número irracional e. E podemos fazer essa definição sem usar o conceito de limite.

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